【2014备考】2013版高中全程复习方略课时提能训练：第二章 函数概念与基本初等函数I、导数及其应用

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 课时提能演练(十三) (45分钟 100分) 一、填空题(每小题5分，共40分) 1.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为_____. 2.若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)=_____. 3.(2012·常州模拟)y=sinx+tcosx在x=0处的切线方程为y=x+1，则t=_____. 4.已知函数f(x)=xlnx.若直线l过点(0,-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为_____. 5.已知函数f(x)=(1-)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数.当a=2时，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的面积为_____. 6.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b为____. 7.若函数f(x)=4lnx，点P(x,y)在曲线y=f′(x)上运动，作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM(O为坐标原点)的周长的最小值为_____. 8.(2012·连云港模拟)在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(x)对应的曲线在点(e,f(e))处的切线方程为_____. 二、解答题(每小题15分，共45分) 9.设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处与直线y=2相切，求a、b的值. 10.函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求该两平行切线间的距离. 11.(2012·扬州模拟)设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1，曲线y=(1-x)e-x在点B(x0,y2)处的切线为l2.若存在x0∈［0,］,使得l1⊥l2，求实数a的取值范围. 【探究创新】 (15分)已知曲线Cn：y=nx2，点Pn(xn,yn)(xn＞0,yn＞0)是曲线Cn上的点(n=1,2，…). (1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标； (2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn,yn). 答案解析 1.【解析】因为y′=，所以，在点(-1,-1)处的切线斜率 k=y′|x=-1==2，所以，切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1. 答案：2x-y+1=0 2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f′(1)为常数，先求出f′(1)，再求 f′(0). 【解析】f′(x)=2f′(1)+2x，∴令x=1，得f′(1)=-2，∴f′(0)=2f′(1)=-4. 答案：-4 3.【解析】∵y′=cosx-tsinx，当x=0时，y=t，y′=1， ∴切线方程为y=x+t，比较可得t=1. 答案：1 4.【解析】f′(x)=lnx+1，x＞0，设切点坐标为(x0,y0)，则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1，所以lnx0+1=，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为x-y-1=0. 答案：x-y-1=0 5.【解析】f′(x)= 当a=2时，f′(x)= f′(1)=×e1=e,f(1)=-e,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=ex-2e，切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,-2e)，所以，所求面积为×2×|-2e|=2e. 答案：2e 6.【解析】设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同. ∵f′(x)=x+2a,g′(x)= 由题意知f(x0)=g(x0)，f′(x0)=g′(x0). 即 由x0+2a=得：x0=a或x0=-3a(舍去). 即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna. 答案：b=a2-3a2lna 【变式备选】已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程. 【解析】f′(x)=,g′(x)= (x＞0),由已知得：，解得a=e,x=e2. ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e)， 切线的斜率为k=f′(e2)= 所以切线的方程为y-e= (x-e2), 即x-2ey+e2=0. 7.【解析】f′(x)= (x>0)，∴P(x, )，M(x,0)， ∴△POM的周长为x++ (当且仅当x=2时取得等号). 答案：4+2 8.【解析】由已知得，f(x)=lnx，∴f′(x)=，切点为(e,1)，∴切线方程为y-1= (x-e)，即y=x. 答案：y=x 9.【解析】f′(x)=3x2-3a， ∵曲线在点(1，f(1))处与直线y=2相切， 10.【解析】f′(x)=aex，g′(x)=，y=f(x) ... ...