第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式，正确认识各项及各项的系数. 2.能通过认识一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 3.从生活实际中抽象出数学问题，感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 教学重难点 重点：了解一元二次方程的概念,并能根据一元二次方程的一般形式确定各项系数. 难点：由实际问题向数学问题转化的过程中寻找等量关系，建立方程. 教学过程 导入新课 问题情境1 幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解:设所求的宽度为x m,则中间地毯的宽表示为(5-2x)m,长表示为(8-2x)m, 由题意可列方程(8-2x)(5-2x)＝18，整理得4x2 -26x+22 ＝0. 问题情境2 观察下面等式：102 +112 +122 ＝132 +142. 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程x2 + (x+1)2 + (x+2)2 ＝ (x+3)2 + (x+4)2.化简，得 x2 -8x-20＝0. 问题情境3 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由题意可知滑动前梯子底端距墙6 m，设梯子底端滑动x m，滑动后梯子顶端距地面7 m，底端距墙(6+x)m, 根据题意，可得方程72＋(x＋6)2 ＝102，整理得 x2 +12x-15＝0. 探究新知 思考:由上面的三个问题,我们可以得到三个方程4x2 -26x+22 ＝0，x2 -8x-20＝0，x2 +12x-15＝0.这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 老师总结：①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c＝0 (a，b，c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 把ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数. 判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件: ①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）； ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0. 例1：下列方程哪些是一元二次方程 (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3) ax２＋bx＋c＝０ +y＝0 (5) 2x2－－1＝0 （6）x(2-x)＝0 解：（1）（4）（6）是，（2）（3）（5）不是.（2）含有两个未知数，不满足第二条；（3）a可能为0，不满足第三条；（5）分母中含有未知数，不满足第一条. 例2：关于x的方程（2a-4）x2 -2bx+a＝0, 在a，b满足什么条件时，此方程为一元二次方程？在a，b满足什么条件时，此方程为一元一次方程？ 解：若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程，则二次项系数不为零，故2a-4 ≠0，解得a≠2，即当a≠2时，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程. 若（2a-4）x2-2bx+a＝0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，故2a-4 ＝0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0, 即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程. 归纳：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值. 例3：将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及各项的系数. ... ...
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