湘教版数学九上3.1.2　成比例线段

第3章　图形的相似 3.1　比例线段 3.1.2　成比例线段 教学目标 1.了解线段的比和成比例线段的概念. 2.了解“黄金分割”. 3.能通过计算，判断四条线段是否成比例． 教学重难点 重点：成比例线段的概念及通过计算判断四条线段是否成比例. 难点：“黄金分割”的概念，并解决相关的实际问题． 教学过程 导入新课 复习导入 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例． 四个数a，b，c，d，如果a：b＝c：d或，则称a，b，c，d成比例. 情境导入 美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．你知道0.618这个比值的来历吗？ 教师引出课题并板书课题. 探究新知 【探究1】成比例线段 【问题1】（师生互动，教师提出问题，学生思考交流并回答） 如图，在方格纸上，（设小方格边长为单位1）△ABC和△的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC，，，的长度，并计算AB与 ，BC与，AC与的长度的比值. 学生通过计算可得 AB＝，BC＝2，AC＝， ＝，＝4，＝， 它们的比值都为0.5. 设计意图：经过创设情境，学生自主参与动手操作，得出“两条线段的比”，通过观察得出四条线段的长成比例的关系，从而得出“比例线段”的概念. 【归纳结论】如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫做这两条线段的比，记作：＝或AB∶A′B′＝m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成＝k或AB∶A′B′＝k. 【注意】（1）两线段是几何图形，可用它的长度比来确定. （2）度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关． （3）表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD. 【总结】 1.线段的比的概念 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n或写成＝，其中，AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比． 2.成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 【探究2】黄金分割 【问题】教师提出问题，学生思考，交流，归纳，教师点拨. 某数学家、天文学家欧多克索斯曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于AC与原线段AB的比，即使得＝成立？ 如果能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 你能把任意一条线段黄金分割吗？如果可以的话，那么黄金分割比是多少呢？ （师生活动）各小组互相合作，探求这样的点是否存在． 运用一元二次方程的知识，可以求出黄金分割比的数值. 如图，设线段AB的长度为1个单位，点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（1-x）个单位. 列出方程：. ① 由于x≠0，因此方程①两边同乘x，得1-x＝x2, 即x2+x-1＝0. 解得 因此， 事实上，我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为，它约等于0.618. 根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C. 即＝＝. 【归纳结论】如果线段AB上有一点C，且＝，那么线段AB被点C黄金分割．点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 黄金分割比的数值近似为0.618. 设计意图：学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解． 新知应用 例1　(教材P65例3)已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问a，b，c，d是比例线段吗？ 【分析】（师生互动）学生肯定会先求a∶b，c∶d，再比较两个 ... ...