第4章 锐角三角函数 4.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角 教学目标 1.理解仰角、俯角的概念. 2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. 教学重难点 重点：仰角、俯角. 难点：利用仰角、俯角解决实际问题. 教学过程 旧知回顾 1.直角三角形三边的关系：勾股定理(a +b ＝c )； 2.直角三角形两锐角的关系:两锐角互余(∠A+∠B＝90°)； 3.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 ； 4.互余两角之间的三角函数关系:sin A＝cos B； 5.同角之间的三角函数关系:，sin2A+cos2A＝1； 6.特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 新课讲授 仰角、俯角的定义 仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角. 巧记：上仰下俯 俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角. 【问题】小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1 m) 教师引导，学生分析. 【解】如图,根据题意可知,∠A＝30°,∠DBC＝60°,AB＝50 m. 设塔高DC＝x m,则∠ADC＝60°,∠BDC＝30°, ∵ ∴ ∴ AC-BC＝AB， ∴ ∴ 答:该塔约有43 m高. 例 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知AB的高度为30米,从A顶部看C的仰角为30° ，求建筑物CD的高度. 【解】在Rt△ACE中，CE＝AE·tan30°＝120×＝40(米). 所以CD＝30+40(米). 【变式1】如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为60°.求建筑物AB，CD的高度. 【解】如图，α＝30°，β＝60°， AE＝BD＝120米． ∵ tan α＝，tan β＝， ∴ CE＝AE·tan α＝120×tan 30°＝(米)， DE＝AE·tan β＝120×tan 60°＝(米)， ∴ AB＝DE＝(米)， ∴ CD＝CE+DE＝≈277.1(米). 【变式2】如图，已知两建筑物AB和CD，AB的高度为30米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为45°，求建筑物CD的高度. 【变式3】如图，已知两建筑物AB和CD，CD的高度为30米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为45°，求建筑物AB的高度. 【变式4】如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从C顶部看A的俯角为30°，看B的俯角为60°，求建筑物AB，CD的高度. 【教师总结】 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 仰角、俯角问题的常见基本模型： 温馨提示：当含有两个(或两个以上)直角三角形时，若某个三角形不能求解，可考虑设未知数，找出合适的等量关系，列方程求解. 课堂练习 1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝_____米. 2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 米. 3.某铁塔由塔身和塔座两部分组成(如左图所示).为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C 点测得塔顶E 的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC 的高为1.6 m，CD的长为6 m，CD所在的水平线CG⊥EF于点G(如图所示)，求铁塔EF的高(结果精确到0.1 m). 4.如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离． 参考答案 1.100 2. 3.解：设DG＝x，则EG＝x. ∵∠ECG＝45°，∠CGE＝90°， ∴∠CEG＝45°， ∴ EG＝CG ， ∴CD+DG＝EG， 即6+x＝x，解得x＝3+3， ∴ EG＝×(3+3)≈14.2(m)， EF＝EG+GF＝14. ... ...
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