中小学教育资源及组卷应用平台 二、分类讨论 人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，最终使问题得到解决。21世纪教育网版权所有 【例1】：下图中共有多少个长方形？ 【分析与解】此题可分类计数，分以下几步： 单一的长方形：3×3＝9 由两个单一长方形组成的长方形：横数2×3＝6，竖数2×3＝6，6＋6＝12 由三个单一长方形组成的长方形：横数1×3＝3，竖数1×3＝3，3＋3＝6 由四个单一长方形组成的长方形：4 由六个单一长方形组成的长方形：4 由九个单一长方形组成的长方形：1 共计：9＋12＋6＋4＋4＋1＝36（个） 【例2】小明有面值3角的邮票、面值5角的邮票各两枚，用这些邮票能付多少种不同的邮资？（邮资：寄信时所需邮票的钱数）21教育网 【分析与解】本题可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，可把他们分成用1枚邮票、2枚邮票、3枚邮票、4枚邮票四种情况来考虑。我们在用分类枚举的方法解决问题时遇到数目不是很大的情况，还可以通过列表的方式来解答。 所用邮票枚数 1 1 2 2 2 3 3 4 3角的邮票枚数 1 1 2 1 2 2 5角的邮票枚数 1 1 2 2 1 2 邮 资 3角 5角 8角 6角 1元 1元3角 1元1角 1元6角 所以能付8种不同的邮资。 【例3】学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个班(可以不参加)。问至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同 【分析与解】所有的学生可以分为三大类：(1)不参加课外学习班的学生，只有一种情况；(2)参加一门课外学习班的学生，共有四种情况；(3)参加两门课外学习班的学生，共有六种情况。于是，问题转化为至少将多少个物品放人11(1+4+6=11)个抽屉里，才能保证某个抽屉中有两个或两个以上物品。由抽屉原理易知至少需12个物品，即本题答案为12个学生。21cnjy.com 【例4】一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？ 【分析与解】把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 【例5】：两根同样长的绳子，第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10，哪根剩下的长 【分析与解】设绳子长为a米， a＜1时，第二根剩下的长。 a＞1时，第一根剩下的长。 a=l时，两绳减去一样多。 【例6】有一架天平和1克、3克、9克的砝码各一个，利用这架天平和这些砝码能称出多少种不同质量的物体？21·cn·jy·com 【分析与解】由于砝码可以选用一个，也可以选用几个；选用几个，又可以放在天平的一边，还可以放在天平的两边。因此，要想不重复也不遗漏地把所有的情况都找出来，可以先分类，再列举。 从选取的砝码的个数入手，可分成下面几类来列举： （1）只选一个砝码，有3种称法，能称出的物体的质量分别为1克、3克和9克。 （2）选2个砝码，放在天平的一边，有3种称法，能称出的物体的质量分别为：1＋3＝4（克），1＋9＝10（克），3＋9＝12（克）；放在天平的两边，也有3种称法，能称出的物体的质量分别为：3－1＝2（克），9－1＝8（克），9－3＝6（克）。2·1·c·n·j·y （3）选3个砝码，放在天平的一边，只有一种称法，能称出的物体的质量是：1＋3＋9＝13（克）；放在天平的两边，有3种称法，能称出的物体的质量分别为：9－1－3＝5（克），9＋1－3＝7（克），9＋3－1＝11（克）。 综上所述，利用这架天平和3个砝码，能称出13种不同质量的物体，有趣的是这些物体的质量分别是1-13克。【来源：21·世纪·教育·网】 【例7】两根 ... ...
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