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课件网) §2.2.1 圆的标准方程 聚焦知识目标 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.(重点) 2.能根据所给条件求圆的标准方程.(重点、难点) 3.掌握点与圆的位置关系.(易错点) 环节一 情境引入 生活中的圆 思考1 在初中我们是如何定义圆的？ 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆． 稍等，观看动画 平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 定点→圆心 定长→半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了. 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径 环节二 圆的标准方程 思考2 已知圆心C(a，b)及圆的半径r，如何确定圆的方程 点M(x,y)是⊙C上任意一点,则有:|MC|=r, 圆上所有点的集合P={M|MC|=r} 两边平方得： 例1 根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： 解 (1)根据圆的标准方程，可得该圆的圆心为(0，1)，半径为2. (2)将方程化为 根据圆的标准方程，可得该圆的圆心为(1，-1)，半径为 特殊位置的圆的标准方程 环节三 求圆的标准方程 例2 已知两点A(1,2)和B(3,-2). (1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程； (2)求以AB为直径的圆的方程. (1)根据已知条件，设圆A的方程为(x-1) + 由圆A经过点B(3,-2),得 解得r =20. 所以圆A的方程为 (2)设圆的方程为 则(a,b)是圆心的坐标.根据已知条件，得a=2,b=0,将点B(3，-2)代入圆的方程 解得 所以所求圆的方程为 例3 求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解法1 设该圆的标准方程为 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ①一②,得 ④化简、整理，得3a-b-5=0.⑤ 联立③⑤解得代入①，得r =5. 故所求圆的标准方程为 反思 1.根据圆的标准方程的特征，三个基本量 2.如果条件不具备，可以先把圆的方程设出来，再提供参数，这叫【待定系数法】 上面例2，例3采用的都是待定系数法. 2.由于圆有典型的几何特征和几何性质，可以通过几何法把圆心和半径求出来，再代入方程，这叫【几何法】 例3 求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 几何法 如图,连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0. 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得即圆心C的坐标为(2,1). 又该圆经过点A，则 故所求圆的方程为 环节四 点圆位置关系 思考 在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？ 点在圆 上、内、外的条件是什么 例4.已知圆 试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆C的位置关系. 解析 环节五 圆的简单性质 对于任何一个半径为r的圆，为了方便研究，我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系，再依据圆的定义得到圆的方程为 ① 由圆的方程①，可得圆的简单几何性质： (1)范围 由方程①可得圆上任意一点P(x，y)都满足不等式 |x|≤r,|y|≤r.这说明圆上的所有点都在两条平行直线x=-r，x=r和两条平行直线y=-r,y=r围成的正方形之间 (2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点P的坐标(x，y)满足方程①，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P (x，-y)， 的坐标也都满足方程①.这说明圆①既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. 环节六 学以致用 1.根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： 2.下列方程是圆的方程吗 若不是，请说明理由. 3.根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在原点，半径为3； (2)圆心是(3,-4),半径是 (3)已知A(2,5),B(0,1)两点,线段AB是圆的直径. 4.判断下列各点与圆 的位置关系，并说明理由： (1) O(0,0); (2) A(1,2); (3) B(3,-2). 5.求经过O(0,0),B(4,-4)两点,且圆心C在直线l:z+y+2=0上的圆的标准方程. ... ...
