《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师大版必修四目标导学：第二章 平面向量（10份，含解析）

§5　从力做的功到向量的数量积 问题导学 1．向量数量积的定义及几何意义 活动与探究1 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°． (1)求a·b； (2)求a在b上的射影． 迁移与应用 (1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影； (2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b． (1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a·b＞0 θ为锐角或零角； ②若a·b＝0 θ＝或a与b至少有一个为0； ③若a·b＜0 θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法 ①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ． ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b． 2．平面向量数量积的运算 活动与探究2 已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求 ①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2； ④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)． 迁移与应用 1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝_____． 2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝_____． 向量数量积的运算中要注意的问题： (1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异． (2)向量数量积与代数式运算三个相近公式． (a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2； (a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2． (3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”． 3．求向量的模 活动与探究3 (1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)． A．0 B．2 C．4 D．8 (2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a＋2b|． 迁移与应用 已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，求|3a＋b|，|a－2b|． 求向量的模的常见思路及方法： (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 4．求向量的夹角问题 活动与探究4 已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值． 迁移与应用 1．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为_____． 2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|． 求：(1)a与a＋b的夹角； (2)a与a－b的夹角． 向量夹角的求法： (1)求向量的夹角要利用公式cos θ＝，通常分别要求a·b和|a|·|b|的值． (2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)． (3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系． 5．解决有关垂直问题 活动与探究5 已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值． 迁移与应用 已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角θ． 向量垂直的应用 (1)理论依据：a⊥b a·b＝0． (2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解． 当堂检测 1．若|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，则a·b＝(　　)． A．15 B．15 C．15 D．10 2．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角为(　　)． A．150° B．120° C．60° D．30° 3．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)． A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 4．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋3b|＝_____． 5．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b) 　　提示：用 ... ...