2.3.1双曲线及其标准方程 【教学目标】 掌握双曲线的定义，图形，以及标准方程的推导过程。 掌握双曲线的标准方程，以及与椭圆标准方程的区别与联系。 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题。 通过双曲线的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。 【教学重点】：双曲线的定义及其标准方程． 【教学难点】：双曲线标准方程的推导． 【教学过程】 一、复习旧知、情景导入、： 1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹叫做椭圆。 即：|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) 2. 引入问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？ 二、合作探究、创设情境： 【问题1】将拉链的下端分别固定在上，拉动拉锁，若把拉锁看着一个动点的话，动点 满足什么几何条件？的轨迹是什么？ 学生探究得出结论：动点满足的几何条件: . 的轨迹是线段 的垂直平分线. 【问题 2】在问题1中，若将拉链的右支截去5cm后重新固定在处,拉动拉锁，此时动点 满足什么几何条件？此时动点的轨迹是一条什么样的曲线呢？ 学生探究得出结论：动点满足的几何条件: 【追问】我们已经知道：满足 的动点的轨迹是椭圆;那么满足 的动点的轨迹是一条什么样的曲线呢？ 学生讨论，教师播放视频。 【问题 3】在问题1中，若将拉链的左支截去5cm后重新固定在处,拉动拉锁，此时动点 满足什么几何条件？此时动点的轨迹又是一条什么样的曲线呢？ 学生探究得出结论：动点满足的几何条件是 【追问】那么满足 的动点的轨迹又是一条什么样的曲线呢？ 学生讨论，教师继续播放相关视频。 【问题4】若把这两条曲线看作是一个动点形成的轨迹，此时动点满足的几何条件又是什么呢？ 动点满足的几何条件: 【追问】那么动点 的轨迹是一条什么样的曲线呢？ 得出结论：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支. 【探究1】探究距离差与 的关系 （1）若距离差为0,则轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线 （2）若距离差< ,则轨迹是什么？ 双曲线 （3）若距离差= ,则轨迹是什么？ 两条射线F1P、F2Q。 （4）若距离差> ,则轨迹是什么？ 无轨迹 三、理论构建：双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于） 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 动点满足的几何条件：（ 常数（小于 ）） 【概念中几个关键词】 （1）必须在平面内; （2）距离的差的绝对值是常数; （3）常数小于 四、直观感受 生活中的双曲线，双曲线在日常生活中很常见，特别是在建筑学上，因此，我们很有必要推导双曲线的标准方程。 五、探究双曲线的标准方程推导 类比椭圆标准方程的推导过程，来一步步推导双曲线的标准方程。 （1）建系 以 所在的直线为 轴，线段垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系. （2）设点 设为双曲线上任意一点，设，则 又设点与 的距离的差的绝对值等于常数 . （3）列式 （4）化简 移项得 平方整理得 再平方得 由双曲线定义知：即 令 代入上式，得 即 （5）验证 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程，有推导逆过程可知，以方程的解为坐标的点到双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为,由此，方程是曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是 【问题6】 双曲线的焦点 在轴上的标准方程是什么 学生探究得出焦点在轴上的双曲线方程为： 六、双曲线两种标准形式的对比 定义 图形 方程 焦点 a,b,c 的关系 ，但是 不一定大于 ， 【问题7】 双曲线的标准方程有何特点？ 方程的右边是“1”. 方程的左边是与的平方差的形式. 【问题8】 如何判断焦点在哪个轴上？ 学生讨论得出：看 前的系数，哪 ... ...
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