11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 一、选择题（共13小题） 1. 若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. B. C. D. 2. 若一个圆锥的侧面积是底面积的 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 A. B. C. D. 3. 如图所示为一个水平放置的正方形 ，它在直角坐标系 中，点 的坐标为 ，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 到 轴的距离为 A. B. C. D. 4. 如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 ，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是 A. B. C. D. 5. 一个正四棱台形油槽可以装煤油 ，若它的上、下底边长分别等于 和 ，则它的深度是 A. B. C. D. 6. 若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 A. B. C. D. 7. 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 ，则母线长为 A. B. C. D. 8. 一个长方体的长，宽，高的比是 ，若表面积为 ，则它的体积为 A. B. C. D. 9. 圆台上、下底面面积分别是 ，，侧面积是 ，这个圆台的体积是 A. B. C. D. 10. 已知一个三棱锥的每一个面都是边长为 的正三角形，则此三棱锥的表面积为 A. B. C. D. 11. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 12. 如图所示的几何体，其表面积为 ，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为 ，则该几何体的主视图的面积为 A. B. C. D. 13. 将边长为 和 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为 A. B. C. D. 二、填空题（共7小题） 14. 一个正四棱台形油槽可以装煤油 升，已知它的上下底边长分别等于 和 ，则它的深度为 ． 15. 平面 截球 的球面所得圆的半径为 ，球心 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 ． 16. 设一个正方体与底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ． 17. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为 ，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 ． 18. 将边长为 的正方形以其一边所在直线为旋轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ． 19. 将圆心角为 ，面积为 的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 ． 20. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为 ，，高为 ，则该圆台的母线长为 ． 三、解答题（共7小题） 21. 粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是 和 ，高是 ．试计算制造这一下料斗所需铁板的面积是多少．（结果精确到 ） 22. 如图，已知正三棱锥 的底面边长为 ，高为 ，求该三棱锥的表面积和体积． 23. 如图，梯形 中，，，，，，在平面 内过点 作 ，将梯形 以 为轴旋转一周，求旋转体的表面积． 24. 已知球的半径为 ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少 25. 圆台的母线长是 ，侧面展开图的扇环的圆心角为 ，侧面积为 ，求其表面积． 26. 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 ，（），求直平行六面体的侧面积． 27. 已知四面体的各面都是棱长为 的正三角形，求它外接球的体积． 答案 1. C 【解析】设圆锥底面半径为 ，则高 ， 所以其母线长 ， 所以 ，，\（S_{底}\mathbin{：}S_{侧}=1\mathbin{：}\sqrt 5\）． 2. C 【解析】因为圆锥的侧面积为：，圆锥的底面面积为：， 所以若一个圆锥的侧面积是底面积的 倍，则圆锥的母线 是底面半径 的 倍，即 ，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 ，则 ，即 ． 3. B 4. C 【解析】由题意，水的体积 ， 所以容器中水的深度 ． 5. D 【解析】设深度为 ，则 ，即 ，解得 ． 6. ... ...
