专题强化练1 直线的方程及其应用 1.(2020宁夏银川二中期末)经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1与经过点M(1,-4)且斜率为的直线l2的位置关系为( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 2.(2022湖南岳阳月考)已知直线l1:ax+y-1=0,l2:(a-1)x-2y+1=0,则“a=2”是“l1⊥l2”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2020广东韶关期末)已知点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l过点(3,-1),则直线l的方程为( ) A.x+4y+1=0或x=3 B.x+4y-1=0或x=3 C.x+4y+1=0 D.x+4y-1=0 4.(2020湖北黄石重点高中联考)已知过定点(2,1)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则这样的直线的条数为( ) A.2 B.3 C.4 D.0 5.(多选)(2021山西怀仁一中月考)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是( ) A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直 B.当a变化时,l1与l2分别经过定点(0,1)和(-1,0) C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.若l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是(O是坐标原点) 6.(2020江西景德镇期末)已知直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限,其中a∈Z,则点A(1,-3)到直线l的距离为 . 7.直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 . 8.(2022四川南京阆中中学质检)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是 . 9.(2022福建福州十一中适应性考试)已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0. (1)证明:直线l恒过定点; (2)m为何值时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为多少 (3)若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 1.A 直线l1的斜率k1==,直线MC的斜率kMC==,所以点M不在直线l1上,因此l1∥l2.故选A. 2.B ∵l1⊥l2,∴a(a-1)+1×(-2)=0,解得a=-1或a=2,∴“a=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选B. 3.A 由点A(1,3)和点B(5,2),得kAB==-. ∵点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l过点(3,-1),∴直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点,∴直线l的方程为y+1=-(x-3)或x=3,整理得x+4y+1=0或x=3.故选A. 4.B 由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k. 在直线l的方程中,令x=0,可得y=1-2k;令y=0,可得x=.所以直线l交x轴于点,交y轴于点(0,1-2k). 由题意可得··|1-2k|=4,即=8. ①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,此时Δ1=0,有1条直线符合条件; ②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,此时Δ2=144-16=128>0,有2条直线符合条件. 综上所述,符合条件的直线l有3条. 故选B. 5.ABD 对于A,a×1+(-1)×a=0,故l1与l2互相垂直恒成立,故A正确; 对于B,直线l1:ax-y+1=0,当a变化,x=0时,y=1恒成立,所以l1恒过定点(0,1); l2:x+ay+1=0,当a变化,y=0时,x=-1恒成立,所以l2恒过定点(-1,0),故B正确; 对于C,在l1上任取一点(x,ax+1),关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x), 代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,不满足无论a为何值,2ax=0成立,故C不正确; 对于D,联立解得 即M,所以|MO|==≤,所以|MO|的最大值是,故D正确.故选ABD. 6.答案 解析 由题意得解得0
