中小学教育资源及组卷应用平台 突破2.3 直线的交点坐标与距离公式 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 三、题型突破 (一) 、两条直线的位置关系 例1、（1）、（2022·江苏·高二单元测试）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） A．无论，，如何，方程组总有解 B．无论，，如何，方程组总有唯一解 C．存在，，，方程组无解 D．存在，，，方程组无穷多解 【答案】B 【分析】通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可. 【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以,即,并且，. 所以 得：即, 所以方程组有唯一解. 故选：B （2）、（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【变式训练1-1】、（2022·江苏·南京师大附中高二开学考试）（多选题）设直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线 B． 与至多有无穷多个交点 C．的充要条件是 D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线 【答案】ACD 【分析】利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D； 【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的 ... ...
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