2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册1.3.2基本不等式（第一课时）课件-(共19张PPT)

(课件网) 基本不等式 第一课时 如图所示的是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的阴暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.根据上节的内容我们可得出，当且仅当时等号成立. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 【问题1】若以，分别代替材料中的，，可得出什么结论 【答案】. 【问题2】问题1的结论中，“”何时成立 【答案】当且仅当时，“”成立. 【问题情境】如图，是圆的直径，点是上任意一点，，，过点作垂直于且交圆于点，连接，. 精讲1：基本不等式的概念 【问题1】如何用，表示，的长度 【答案】.易证Rt△Rt△，则，即. 【问题2】比较，的长度，能得出什么结论 【答案】的长度大于或等于的长度，通过两者的关系可以得出 1.重要不等式 ，∈R，有，当且仅当时，等号成立. 2.基本不等式 如果，，那么用，分别代替上式中的，，可得，当且仅当时，等号成立.通常称不等式为基本不等式(基本不等式又称均值不等式)，其中叫作正数，的算术平均值，叫作正数，的几何平均值. 3.变形 ，.(其中，，当且仅当时等号成立) 特别提醒：基本不等式成立的条件：，，当且仅当时取等号.故若，，且，则，即只能有. 抽象概括 【例1】给出下面三个推导过程：①因为，，所以；②因为∈R，且，所以；③因为，∈R，，所以.其中正确的推导过程为(　　). A.①② B.②③ C.② D.①③ 【方法指导】根据基本不等式中的条件进行判断，从基本不等式成立的条件考虑. 【解析】因为，∈，所以，，符合基本不等式成立的条件，故①正确； 因为∈R，且不符合基本不等式成立的条件，所以是不成立的，故②错误；由，得，均为负数，但在推导过程中将看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确.故选D. D 学以致用 【方法小结】与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面，当时，；另一方面，当时，也有. 【例1】给出下面三个推导过程：①因为，，所以；②因为∈R，且，所以；③因为，∈R，，所以.其中正确的推导过程为(　　). A.①② B.②③ C.② D.①③ D 学以致用 【针对训练1】下列不等式的推导过程正确的是_____. ①若，则； ②若，则； ③. 【解析】在①中，由不能保证，故不能应用基本不等式；②由于，所以-，故可以利用基本不等式结合不等式的性质推导，推导过程是正确的；③虽然可以利用基本不等式推导，但等号成立的条件是 ，即，这显然不可能，从而等号取不到，因此只能得到. ② 精讲2：运用基本不等式求最值 【问题1】当两个正数，的和为定值时，有最小值还是最大值 最值是多少 【答案】有最大值，当时，取得最大值，最大值是. 【问题2】当两个正数，的乘积为定值时，有最小值还是最大值 最值是多少 【答案】有最小值，当时，取得最小值，最小值是 已知，都是正数， (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式成立的前提条件(，). (2)二定：化不等式的一边为定值. (3)三相等：必须存在取“”的条件，即“”成立. 以上三点缺一不可. 抽象概括 【例2】(1)已知，则当取得最大值时的值为_____. (2)已知，则的最小值为_____. 【方法指导】通过常数拼凑使得两个式子的和或积为定值，再利用基本不等式求出最值，注意“一正、二定、三相等”的条件以及拼凑中的等价变形过程. 【解析】(1)∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，故. (2)∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立. 学以致用 【方法小结】若是求和式的 ... ...