7.2 平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 考情分析 核心素养 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学建模 数学运算 直观想象 1.平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， 使.其中，不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. (2)向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示 设 ，，则，，， ;.. (3)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，，则. 3.平面向量共线的坐标表示 设 ，，其中.共线. 1.不共线的两个向量可作为一组基底,基底可以有无穷多组;不能作为基底;基底一旦确定,分解方式唯一; 2.若与不共线,,则; 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系，两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 4.定比分点公式 (1)向量形式：设为一边上一点,设则 (2)坐标形式：已知两点，，在两点连线上有一点，且 . 1.【P35 T5多选】当是线段的一个三等分点时，点的坐标为( ) A. B. C. D. 2.【P27 T3】如图所示中，，，，线段，相交于点． 用向量与表示及 若，试求实数，的值． 考点一 平面向量基本定理及其应用 【方法储备】 应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。 用平面向量基本定理解决问题的一般思路: 角度1用基底表示平面向量 【典例精讲】 例1.(2022·天津市期中)如图，在中，为的中点，为的中点，设，，以向量，为基底，则向量( ) A. B. C. D. 【名师点睛】 本题考查向量的四则运算，向量在几何中的应用，利用向量的加减法运算法则，化简求解即可． 【靶向训练】 练1-1(2021·山东省青岛市期末.多选)设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 练1-2(2022·浙江省模拟)如图，为线段的中点，，，设，，试用，表示，，． 角度2平面向量基本定理的应用 【典例精讲】 例2.(2022·山东省淄博市期中.多选) 等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【名师点睛】 本题考查平面向量的线性运算以及平面向量基本定理的应用. 【靶向训练】 练1-3(2022·河南省郑州市模拟)正方形中，点，分别是，的中点，那么( ) A. B. C. D. 练1-4(2022·山东省泰安市期末)如图，在中，，点在线段上移动不含端点， 若，则 ，的最小值是 ． 考点二 平面向量的坐标运算 【方法储备】 1.利用向量的坐标运算解题步骤 2.两平面向量共线的充要条件有两种形式 3.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 【特别提醒】利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由向量平行求参数,当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 角度1平面向量的坐标运算 【典例精讲】 例3.(2022·全国乙卷文科)已知向量，，则( ) A. B. C. D. 【名师点睛】 本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算． 【靶向训练】 练2-1(2022·浙江省台州市期中)已知点，，向量，则向量( ) A. B. C. D. 练2-2(2022·浙江省模拟)在平面直角坐标系中，已知点，，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 角度2向量平行(共线)的坐标表示 【典例精讲】 例4.(2022·广东省茂名市月考)已知，． 当为何值时，与共线 若，且，，三点共线，求的值． 【 ... ...
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