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课件网) 沪科版 九年级上册 21.4实际问题与二次函数(1) 学习目标： 能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运 用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值(或最 小值)． 学习重点： 探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问 题的方法． 课件说明 x y O b 2a － x= 当 a＞0 时，抛物线 y=ax2＋bx＋c的开口向上，顶点是抛物线的最低点，函数有最小值. c b2 4a － . 最小值为 如何求出二次函数 y = ax2＋bx＋c 的最小值？ 此时自变量x= b 2a － . 复习旧知 x y O 当 a＜0 时，抛物线 y=ax2＋bx＋c的开口向下，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值. c b2 4a － . 最大值为 如何求出二次函数 y = ax2＋bx＋c 的最大值？ 此时自变量x= b 2a － . b 2a － x= 解： x = b 2a － = －4 2×2 =1 － = －3 ∵ b=－4 ，c=－1， c b2 4a － = (－4)2 4×2 －1－ ∵ a=2＞0 ， ① y=2x2－4x－1， ② y =－3x2＋12x－8 ① 求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值． ∴函数有最小值. ∴最小值y= 相应的x值为 解： x = b 2a － = 12 2×(－3) =2 － =4 ∵ b=12 ，c=－8， c b2 4a － = 122 4×(－3) －8－ ∵ a=－3＜0 ， ① y=2x2－4x－1， ② y =－3x2＋12x－8 ② 求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值． ∴函数有最大值. ∴最大值y= 相应的x值为 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ ①你能够画一个周长为40m的矩形吗？ ②周长为40m的矩形是唯一的吗？ ③有没有一个矩形的面积是最大呢？ 最大面积为多少？ ④你将用什么数学知识说服大家，你所画的 矩形面积最大？ ⑤利用函数图像可以求出面积的最大值吗？ 例题解析 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 解：设围成的水面的长为x米，围成的水面面积为y平方米，矩形的周长为40米，所以它的宽应是 米. (20－x) 根据题意，得 =20x－x2 =－x2＋20x x(20－x) y = (0＜x＜20)． 解：设围成的水面的长为x米，围成的水面面积为y平方米，矩形的周长为40米，所以它的宽应是(20－x)米. 根据题意，得 =－x2＋20x x(20－x) y = ∵ a=－1＜0 ， ∵ b=20， ∴ 这个函数有最大值， 当 x=10时， y =－102 ＋20×10 = 且当 x= 时， b 2a － y取得最大值. ∴x= b 2a － － 20 2×(－1) =10 =100 =20x－x2 答：当围成的矩形水面边长都是10米时，面积最大， 最大面积为100平方米. 整理，得 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解： ， ∴当 时， S 有最大值． 当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大． (0＜l＜30)． S= 60 2 － l l S= －l 2＋30l ∵ a=－1＜0 ， S 最大值= l= b 2a － = － 30 2×(－1) =15 －152＋30×15 =225. ( ) 2.在直角三角形中，两直角边之和为10.问当两直角边 的边长各是多少时，这个三角形的面积最大？最大 面积是多少？ 设其中一直角边长为x，则另一直角边长为 (10－x)． 根据题意，得 面积为 y. y = 2 1 (10－x)x = － 2 1 (x2－10x) = － 2 1 (x2－10x＋25 －25) 解： =－ 2 1 (x－5)2 ＋ 2 25 ∴ y有最大值． ∵ a=－ ＜0 ， 2 1 且当 x= 5 时， y取得最大值. 最大面积是 . 2 25 应用二次函数解决面积最优化问题的方法: (1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数表达式； (2)将二次函数表达式配方，化成顶点式 y=a(x＋h)2＋k； (3)根据顶点式，结合x的取值范围，确定函数y的最值，从而确定最方法优 ... ...
