五年级奥数讲义：数的整除问题 第一讲数的整除问题 数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题, 也是小学数学竞赛命题的内容之一。 基本概念和知识 1.整除 数和倍数 例如:15÷3=5,63÷7=9 般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等 于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能 被b整除(或者说b能整除a)。记作b丨a.否则,称为a不能被b整除,(或b不 能整除a),记作b卜a 如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数 例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63 的约数 2.数的整除性质 性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除 即:如果ca,c|b,那么c|(a±b)。 例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6) 并且2|(10-6) 性质2:如果b与的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc丨a,那 么b|a,c|a 性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除 即:如果b 且(b,c)=1,那么 加如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1, 那么(2×7)‖28。 性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除: 即:如果c|b,b|a,那么c|a 例如:如果3|9,9|27,那么3|27 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包 含两方面的意义 面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除 另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征 含义相似。 ②能被5整除的数的特征:个位是0或 ③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。 ④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除 例如:1864=1800+64,因为00是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍 数.又因为4|64,所以1864能被4整除但因为25+64,所以1864不能被25整除 ⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。 例如:29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与 125的倍数又因为1251375,所以29375能被125整除.但因为8+375,所以8 +29375。五年级奥数讲义：数的整除问题习题 五年级奥数讲义：数的整除问题习题解答 习题 1已知72x931y,求满足条件的五位数。 2.已知五位数154x能被8和9整除,求x+y的值 3若五位数32x5y能同时被2、3、5整除,试求满足条件的所有这 样的五位数 4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位 数,试问:这个数能否被3整除 把□ 本陈年老账上记着:72只桶,共口67.9□元这里囗处字迹已不清.请 处数字补上,并求桶的单价 6.证明:任意一个三位数连着写两次得到一个六位数,这个六位数一定能 同时被7、11、13整除 习题一解答 1.39312 2.8 3.32250、32550、32850 4.解:∵1+2+3+…+9=45,3|45, 又∴1993除以9余4 这个1993位数的最末位数字是1234 1+2+3+4-10,3+10 这个1993位数不能被3整除。 5.口为3、2共367.92元,每只桶5.11元。 6证明:设任意一个三位数为abc,则六位数 abcabc=abc×1000+abc 1001×abC =7×11×13×abc 所以,这个六位数一定能同时被7、11、13整除 ... ...
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