高中数学北师大版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》第二章4向量在立体几何中的应用（含解析）

一、单选题 1．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 2．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，若，且平面，则（ ） A． B． C． D． 4．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 5．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（ ） ①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角为； ③四面体有外接球； ④直线与平面所成的角为. A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④ 6．如图所示，，是直角梯形两腰的中点，于点，现将△沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则，的连线与所成的角的大小为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（ ） A．3 B．6 C． D． 8．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则下列说法不正确的是（ ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 9．如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_____. 10．化学中，晶体是由大量微观物质单位（原子、离子、分子等）按一定规则有序排列的结构．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点），则图中原子连线BF与所成角的余弦值为_____． 11．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则_____. 12．在正四棱锥中，，，分别是，的中点，设异面直线与所成角的大小为，则_____． 四、解答题 13．如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点． (1)证明：平面平面BCE； (2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积． 14．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 15．在三棱锥中，． （1）求证：； （2）若，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值． 16．如图，在四棱柱中，底面是为菱形，，平面，E为的中点． （1）证明：； （2）若与平面所成角为，且，求二面角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：D. 2．B 【分析】根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可. 【详解】如图以点D为坐标原点建立空间坐标系 设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下： B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0) ，又 即，，所以 所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段， 且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大 当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0 当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时， 即为二面角B-AD-P的平面角， 所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确 故选：B. 3．D 【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值，由此可得出向量的坐标. 【详解】，，，则，解得， ， 平面，、平面，所以， ... ...