7.2.4 诱导公式-三角函数的积化和差、和差化积公式 学案（含部分答案）

7.2.4诱导公式-三角函数的积化和差、和差化积公式 班级： 小组： 学生姓名： 【学习目标】　1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用. 　 预学案 知识点一　积化和差公式 思考　根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整. ①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝_____； ②sin(α＋β)－sin(α－β)＝_____； ③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝_____； ④cos(α＋β)－cos(α－β)＝_____. 在上述四个等式两边同乘以，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式. 梳理　积化和差公式 (1)sin αcos β＝_____. (2)cos αsin β＝_____. (3)cos αcos β＝_____. (4)sin αsin β＝_____. 知识点二　和差化积公式 思考　在四个积化和差公式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝_____，β＝_____，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式： sin θ＋sin φ＝_____； sin θ－sin φ＝_____； cos θ＋cos φ＝_____； cos θ－cos φ＝_____. 梳理　和差化积公式 (1)sin x＋sin y＝2sin cos ， (2)sin x－sin y＝2cos sin ， (3)cos x＋cos y＝2cos cos ， (4)cos x－cos y＝－2sin sin . 探究案 类型一　利用积化和差与和差化积公式化简求值 例1　求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 　 　 　 反思与感悟　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来. 跟踪训练1　求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°. 　 　 类型二　三角恒等式的证明 例2　在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C. 　 　 　 反思与感悟　在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系. 跟踪训练2　已知A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos. 　 　 　训练案 1.sin 75°－sin 15°的值为(　　) A. B. C. D.－ 2.sin 15°cos 165°的值是(　　) A. B. C.－ D.－ 3.sin 105°＋sin 15°等于(　　) A. B. C. D. 4.sin 37.5° cos 7.5°等于(　　) A. B. C. D. 5.在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围. 　 　 　 1.本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系. 2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系. 答案精析 题型探究 例1　解　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝. 跟踪训练1　解　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝. 例2　证明　左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C ＝2sincos＋sin 2C＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)·cos(A＋B) ＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin·sin ＝4sin Asin Bsin C＝右边．所以原等式成立． 跟踪训练2　证明　∵左边＝sin(B＋C)＋2sincos ＝2sincos＋2sin·cos＝2cos＝2cos ·2sincos ＝4sinsincos＝右边．∴原等式成立． 当堂训练 1．B　2.C　3.C　4.C 5．解　由题意，得 cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)] ＝[sin(π－B)－sin(A－C)] ＝－sin(A－C)． ∵－1≤sin(A－C)≤1， ∴－≤－sin(A－C)≤， ∴cos Asin C的取值范围是. ... ...