2.2.4 点到直线的距离 教学设计（表格式）

课程基本信息 课题 2.2.4点到直线的距离 教科书 书名：《普通高中教科书·数学（B版）·选择性必修·第一册》 -出卷网-：人民教育-出卷网- 出版日期：2020年6月 教学目标 教学目标： 理解点到直线距离公式的推导过程；掌握点到直线距离公式及其应用； 能够利用点到直线距离公式推导出两条平行直线间的距离； 推导过程中渗透数形结合、转化（或划归）的数学思想，体会特殊与一般的方法。 教学重点：点到直线距离公式及其应用 教学难点：点到直线距离公式的推导 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 新课导入 我们知道，平面内点到直线的距离等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.那么，如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，如何计算点到直线的距离呢？ 新课讲解 我们先来看一个具体例子. 求点到直线的距离. 解：过点P作,垂足为,则P到的距离即为的长度. 设直线的方程为,又因为直线过点P ，所以,解得,所以直线的方程为. 解得即 所以 即点P到直线的距离为. 下面我们来求到直线的距离. 设过点P和直线l垂直的直线方程为，又因为直线过点,,即,所以该直线的方程为. 接下来就要让直线和直线l联立，解方程组了，但是这个过程的运算量是非常繁琐的，我们换一个思路。 设两条直线的交点为，也就是，即垂足是，我们采用设而不求的方法.则. 将代入方程 ,① ,② ,③ 这里我们需要有一个整体代换的思路，不需要解出的具体值，我们只要解出即可。发现③式刚好有这两个式子，而②式没有.为此，我们在②式的左右两边同时减去,并整理得： ④ 将③式和④式平方求和可得 ⑤ 因此, 从而 这就是点到直线的距离公式。 新课讲解 点到直线的距离公式还可以利用向量数量积来推导。 设直线．点． 则为直线的一个法向量． 令是直线上任意一点，则向量在向量上的投影的绝对值就是点P到直线的距离． 因为， 所以，向量在向量上的投影的绝对值为 因为，是直线上一点 所以， 带入上式，得点P到直线的距离为． 以上推导对任意直线和任意点成立． 课堂小练习 例如我们可以利用这个公式求出点到直线的距离. 再如求点到直线的距离. 说明点P在直线上。 例题讲解 例题1.已知△ABC的三个顶点A（2,2），B（2,0），C（0,1），求△ABC的BC边上的高。 解：所求BC边上的高等于点A到直线BC的距离. 因为BC所在直线的截距式方程为,整理得一般式方程为,因此所求高为 新课讲解 例题2.设直线，直线，其中，则这两直线平行． 令是直线上任意一点，则P点到直线的距离就是这两条直线之间的距离，即． 又因为，是直线上一点 所以，，． 带入上式，得． 这就是两平行直线之间的距离公式．它不用在某直线上取点．但是，使用这个公式之前，必须要就两直线方程的系数化为相同的． 例题讲解 例题3.求平行线与之间的距离. 解：直线的方程为,代入两条平行直线间距离公式 . 课堂小结 点到直线的距离公式 两条平行直线之间的距离公式 作业 课本P95练习A第1、2、3、4题 ... ...