4.2.4 随机变量的数字特征（1）教学设计（表格式）

课程基本信息 课题 随机变量的数字特征 教科书 书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册 -出卷网-： 人民教育-出卷网- 出版日期： 年 月 教学目标 教学目标：通过实例，理解离散型随机变量的期望的概念，了解其实际含义；会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题;掌握二点分布，二项分布，超几何分布的期望公式. 教学重点：离散型随机变量的期望的概念与计算方法. 教学难点：离散型随机变量的期望的意义. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 5分 复习 引入 离散型随机变量X的分布列： 若P(X=xk)=pk ，k∈{1,2,…,n}，则 Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn 此表称为X的概率分布或分布列． 情境与问题：一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么 分析：成功的概率p，指的是如果重复这个创业项目足够多次（设为n次），那么成功的次数可以用np来估计，而失败的次数可以估计为n(1-p). 因此，在这n次试验中，投资方收益（单位：万元）的n个数据估计为 5000，5000，…，5000，-3000，-3000， … ，-3000， 这一组数的平均数为 因为上述平均数体现的是平均收益，所以不难想到，当，即时，就应该对创业项目进行资助. 另一方面，如果设投资公司的收益为X万元，则X这个随机变量的分布列如下表所示. X5000-3000Pp1-p 从上面的分析看出，式子刻画了X取值的平均水平. 5分 新授课 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取值是 这些值对应的概率是则 叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望; 离散型随机变量X的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 求离散型随机变量的期望的步骤： 求随机变量的所有可能取值； 分别求出相应的概率值； 写出分布列； 求随机变量的期望. 例题 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下 X10Pp1-p 所以E(X) = p. （1）二项分布的均值 (师：我们已经知道，一个伯努利试验是实验结果可记为“成功”与“不成功”的试验，成功的概率为p，在相同条件下一个伯努利试验重复n次，在n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X服从参数为n，p的二项分布.) 如果随机变量X~B(n,p)，则E(X)=np. （2）超几何分布的均值 (师：若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中随机取出n件，则这n件中所含甲类物品数X服从参数为N，n，M的超几何分布.) 若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N,n ,M)， 则 5分 例题 分析 例题 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 分析 学生甲每一道题是否选择正确是互相独立的，并且每道题选对的概率相同，因此这是独立重复试验．学生乙也是如此． 设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则 X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，根据二项分布的均值公式，容易求得X1和X2的均值． 分析 但是题目中问的是成绩的均值，相当于是问E(5X1)和E(5X2)，它们和E(X1)，E(X2)有什么关系呢？ 随机变量均值的性质 已知随机变量X的分布列为 Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn 若Y=aX+b，其中a,b为实数且a≠0，则Y也是随机变量．那么， X与Y的均值之间有什么联系呢？ 由X与Y之间分布列的关系可知 现在继续解答刚才的例题： 解：设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2， ... ...