3.4 曲线与方程 基础练 1.(2022福建龙岩高二期中)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( ) 2.方程(2x+3y-1)=0所表示的曲线是 ( ) A.一条直线和一条射线 B.两条射线 C.两条线段 D.两条直线 3.(2022四川泸州高二期末)已知方程x2+my2=1(m∈R),则下列说法正确的是( ) A.当m<0时,方程表示双曲线 B.当m>0时,方程表示椭圆 C.方程不可能表示直线 D.方程可能表示抛物线 4.(2022广东广州越秀高二期末)方程(2-t)x2+(t-1)y2=1表示曲线C,有以下四个结论: ①当t=时,曲线C是圆;②当12时,曲线C是双曲线;④当t=2时,曲线C是抛物线. 其中结论正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,点M在x轴上,且=0,延长MP到点N,使得||=||,则点N的轨迹方程是 . 6.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过点M向x轴作垂线,垂足为N,点P满足,则点P的轨迹方程为 . 7.已知圆C的方程为x2+(y-5)2=16,直线l的方程为y=3,点P为平面内一动点,PQ是圆C的一条切线(Q为切点),并且点P到直线l的距离恰好等于切线长|PQ|,则点P的轨迹方程为 . 8.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,求点C的轨迹方程. 提升练 9.已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是 ( ) A.x+2y+3=0 B.x-2y-5=0 C.x-2y-7=0 D.x-2y+7=0 10.(多选题)关于x,y的方程(m-1)x2+my2=m(m-1)(m∈R)表示的曲线可能是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 11.P是椭圆=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,,则动点Q的轨迹方程是 . 12.已知定点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),以C为一个焦点作过A,B两点的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为 . 13.方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为 ,面积为 . 14.△ABC的一边的两个顶点分别为B(-a,0),C(a,0)(a>0),另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程,并且根据m的取值情况讨论其轨迹. 创新练 15.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程. 参考答案 1.C 方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 2.A 由(2x+3y-1)=0,得2x+3y-1=0(x≥3)或=0(x≥3). 2x+3y-1=0(x≥3)为一条射线,x=3为一条直线,则方程(2x+3y-1)=0表示的曲线是一条直线和一条射线.故选A. 3.A 方程x2+my2=1(m∈R),当m<0时,根据双曲线的标准方程可知,方程表示双曲线,故A正确;当m>0时,若m=1,则方程表示圆,故B错误;当m=0时,方程表示x=-1和x=1两条直线,故C错误;因为方程中没有x或y的一次项,故方程不可能表示抛物线,故D错误. 故选A. 4.B ①当t=时,即x2+y2=2,曲线C是圆,①正确;②当10,t-1>0,曲线C是椭圆,②错误;③当t>2时,2-t<0,t-1>0,曲线C是双曲线,③正确;④当t=2时,2-t=0,t-1=1,即y2=1,曲线C是直线,④错误.故选B. 5.y2=4x 由于||=||,则P为MN的中点.设N(x,y),则M(-x,0),P0,,由=0,得-x,-·1,-=0,化简得点N的轨迹方程是y2=4x. 6.x2+y2=2 设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由,得x0=x,y0=y. 因为点M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. 7.x2=4y 设点P的坐标为(x,y),则点P到直线y=3的距离为d=|y-3|. 过点P作圆x2+(y-5)2=16的切线,则切线长|PQ|=, 由题意可得|y-3|=,整理可得点P的轨迹方程为x2=4y. 8.解设角A,B,C的对边分别为a,b,c,由sinB+sinA=sinC,可知b+a=c=10,即|AC|+|BC|=10,所以点C的轨迹为椭圆(不包含长轴的两个端点),此椭圆的长半轴长为5,半焦距为4,短半轴长为3,则点C的轨迹方程为=1(x≠±5). 9.D 设P(x0,y0),Q(x,y) ... ...
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