【备战2014高考数学专题汇编】专题14：复数问题

【备战2014高考数学专题汇编】 专题14：复数问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2专题，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8专题，对数学思想方法进行了探讨，9～12专题对数学解题方法进行了探讨，从第13专题开始我们对高频考点进行探讨。 　　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 　　形如的数称为复数，其中规定为虚数单位，且（是任意实数）。 　　我们将复数中的实数称为复数的实部，实数称为复数z的虚部。 　　当=0时，，这时复数成为实数； 当=0且≠0时，，称为纯虚数。 　　实部与虚部的平方和的正的平方根称为该复数的模，即对于复数，它的模为 。 对于复数，称复数为的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数。 2013年各地高考对复数知识的考查主要集中在3个方面：（1）复数（含模）的运算；（2）共轭复数；（3）复数的几何意义。结合2013年全国各地高考的实例，我们从这三方面探讨复数知识的考点。 一、复数（含模）的运算： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 ∵，是纯虚数，∴。 故选D。 例2 . （2013年广东省文5分）若，则复数的模是【　　】 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D。 【考点】复数模的计算。 【解析】∵，∴。 ∴复数的模是。故选D。 例3. （2013年江苏省5分）设（为虚数单位），则复数的模为 ▲ 。 【答案】。 【考点】复数的运算和求复数的模。 【解析】∵，∴。 例4. （2013年江西省理5分）设集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=【 】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考点】交集及其运算，复数的运算。 【分析】∵M={1，2，zi}，i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝， ∴zi＝4?z＝－4i。 故选C。 例5. （2013年辽宁省理5分）复数的模是【 】 A． B. C. D.2 【答案】B。 【考点】复数的化简和模。 【分析】∵复数，∴。故选B。 例6. （2013年全国大纲理5分）【 】 A． B. C. D. 【答案】A。 【考点】复数代数形式的混合运算。 【分析】(1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8。故选A。 例7. （2013年全国新课标Ⅱ文5分）【 】 A． B. C. D. 【答案】C。 【考点】复数的模。 【分析】。故选C。 例8. （2013年全国新课标Ⅱ理5分）设复数z满足(1－i)z＝2i ，则z =【 】 A． B. C. D. 【答案】A。 【考点】复数代数形式的乘除运算。 【分析】∵(1－i)z＝2i，∴。故选A。 例9. （2013年全国新课标I理5分）若复数满足，则的虚部为【 】 A． B. C. D. 【答案】D。 【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模。 【分析】∵复数z满足，∴。 ∴z的虚部为。 故选D。 例10 . （2013年全国新课标I文5分）【 】 A． B. C. D. 【答案】B。 【考点】复数代数形式的乘除运算。 【分析】。故选B。 例11 . （2013年山东省文5分）复数（i为虚数单位），则|z|=【 】 A．25 B. C.5 D. 【答案】C。 【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模。 【分析】∵，∴。故选C。 例12 . （2013年陕西省文5分）设z是复数, 则下列命题中的假命题是【 】 A．若, 则z是实数 B. 若, 则z是虚数 C. 若z是虚数, 则 D. 若z是纯虚数, 则 【答案】C。 【考点】真假命题的判断，复数的基本运算。 【分析】设z=a+bi，a，b∈R，， 对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，所以A为真命题； 对于B，z2＜0，则a＜0，且b≠0， z是虚数；所以B为真命题； 对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题； 对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题。 故选C。 例13. （2013年上海市理4分）设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则 ▲ . 【答案】－2。 【考点】复 ... ...