【备战2014高考数学专题汇编】专题20：三角函数问题

【备战2014高考数学专题汇编】 专题20：三角函数问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2专题，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8专题，对数学思想方法进行了探讨，9～12专题对数学解题方法进行了探讨，从第13专题开始我们对高频考点进行探讨。 三角函数是高考数学的必考内容，从题型的角度，高考中三角函数问题主要有以下几种： 1.　同角、和差倍三角函数的应用； 2. 正弦定理和余弦定理的应用； 3. 三角函数的图象和性质； 4. 三角函数的综合问题； 5. 三角函数与其它知识的综合问题。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨三角函数问题的求解。 一、同角、和差倍三角函数的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 ∵0≤x≤，∴。 当，即0≤x≤时，f（x）是增函数； 当，即时，f（x）是减函数。 ∴f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减。 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性。 【解析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值。 （2）由于x是 范围内的角，得到的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间上的单调性。 例2. （2013年广东省理12分）已知函数。 （1）求的值； （2）若，求。 【答案】解：（1）由得 。 （2）∵，∴。 ∴。 ∵， ∴ 。 【考点】倍角公式，两角和与差的余弦函数，诱导公式。 【解析】（1）由题意，直接将代入求值即可。 （2）由题设条件，求出，从而由倍角公式求得，对化简即可。 例3. （2013年广东省文5分）已知，那么【　　】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考点】三角诱导公式的应用。 【解析】。故选C。 例4. （2013年广东省文12分）已知函数， （1）求的值； （2）若，求。 【答案】解：（1）由得 。 （2）∵，∴。 ∵， ∴ 。 【考点】两角和与差的余弦函数，诱导公式。 【解析】（1）由题意，直接将代入求值即可。 （2）由题设条件，求出，从而对化简即可。 例5. （2013年湖北省理5分）已知，则双曲线C1：与C2：的【 】 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】D。 【考点】圆锥曲线及其标准方程，三角函数的化简。 【分析】∵， ∴对于双曲线C1，有的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率； 对于双曲线C2，有实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率。 ∴这两双曲线的离心率相等。 故选D。 例6. （2013年江西省文5分）若，则cos=【 】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考点】二倍角的余弦。 【分析】由二倍角的余弦公式可得，。故选C。 例7. （2013年江西省理5分）函数的最小正周期T为 ▲ . 【答案】π。 【考点】三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦。 【分析】， ∵ω=2，∴T=π。 例8. （2013年江西省文5分）设，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是 ▲ 。 【答案】a≥2。 【考点】两角和的正弦函数,正弦函数的定义域和值域. 【分析】令， ∴。∴。 ∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，∴。 ∴a≥2，即实数a的取值范围是a≥2。 例9. （2013年全国大纲文5分）已知是第二象限角，，则【 】 A． B. C. D. 【答案】A。 【考点】同角三角函数间的基本关系。 【分析】∵α是第二象限角，， ∴。故选A。 例10. （2013年全国大纲理5分）已知α是第三象限角，，则 ▲ . 【答案】。 【考点】同角三角函数间的基本关系。 【分析】∵α是第三象限角，， ∴。∴。 例11. （2013年全国新课标Ⅱ文5分）已知，则【 】 A． B. C. D. 【答案】A。 【考点】二倍角的余弦，同角三角函数间的基本关系，诱导公式。 【分析】∵， ∴。 故选A ... ...