2.1.1 等式的性质与方程的解集 题型分类讲义（含解析）

2.1.1等式的性质与方程的解集 常考题型目录 题型1 等式性质 3 题型2 恒等式 5 题型3 因式分解 7 题型4利用十字相乘法因式分解 9 类型1单变量多项式 9 类型2利用十字相乘法分解双变量多项式 10 题型5 完全平方式 11 题型6 化简求值 12 题型7 一元一次方程的解集 14 题型8 含参取值范围 15 题型9 新定义题型 18 知识梳理： 知识点一：等式的基本性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 整理如下： 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二：恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 知识点三：.“十字相乘法” 对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 特别提醒 运用x +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. 知识点四：方程的解集 1. 方程的有关概念方程 方程：含有未知数的等式叫方程. 方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解. 方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 解方程：求方程的解的过程叫解方程. 2.一元一次方程 一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程. 满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1. 表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）. 题型分类 题型1 等式性质 【例题1】（2022·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（ ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】B 【解析】A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析； B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析； C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析； D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析. 【详解】A、，两边都加，得，故A正确； B、时，两边都除以无意义，故B错误； C、因为，方程两边同除以，得，故C正确； D、两边都乘以，故D正确； 故选：B． 【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若，则a=b D．若x=y，则 【答案】D 【分析】利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答. 【详解】对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确； 对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确； 对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确； 对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误． 故选：D 【变式1-1】2.（2021·全国·高一课时练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等式的性质即得. 【详解】由得.故选：C. 【变式1-1】3．（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】A.由时判断；B.由等式的性质判断；C.由时判断；D.由，得到或判断. 【 ... ...