2022－2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册2.1.2基本不等式、2.1.3基本不等式的应用 课件(共30张PPT)

(课件网) 第2章一元二次函数、方程和不等式 2.1.2+2.1.3基本不等式 温故知新 图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成图.在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为.由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式： 温故知新 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有： 于是就有 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 事实上，利用完全平方公式，得： 因为，， 当且仅当时，等号成立，所以. 因此，由两个实数大小关系的基本事实， 得，当且仅当时，等号成立. 基本不等式 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得 (1) 当且仅当时，等号成立. 通常称不等式(1)为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 基本不等式 在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 因而 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为 . 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 例题 例1.已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 例题 例2.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴ 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. (2)当和等于定值时， ∴ 当且仅当上式等号成立.于是，当时，积有最大值 积定和最小，和定积最大. 例题 例3.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 例题 例3.(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 例题 例4：对任意三个正实数a，b，c，求证： 　　　　　　a＋b＋c≥　　　　　　　， 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 　证明　因为a，b，c>0，由基本不等式，得 a＋b≥　　 ，b＋c≥ ，c＋a≥ ， 把上述三个式子的两边分别相加，得 2(a＋b＋c)≥ ， 即 a＋b＋c≥ , 当且仅当a＝b，b＝c，c＝a，即a＝b＝c时等号成立. 题型一：利用基本不等式比较大小 例1.若，，且，则，，，中最大的是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：∵，，且，∴ ∴四个数中最大的应从，中选择. 而 又∵，，∴ ... ...