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课件网) 第八章 数学建模活动(一) §1 走近数学建模 §2 数学建模的主要步骤 §3 数学建模活动的主要过程 核心知识目标 核心素养目标 1.了解熟悉数学模型的实际背景及其数学描述,了解数学模型中的参数、结论的实际含义. 2.知道数学建模的一般步骤包括提出问题、建立模型、求解模型、检验结果.能够在熟悉的实际情境中,模仿学过的数学建模过程解决问题. 3.对于学过的数学模型,能够举例说明建模的意义,体会其蕴含的数学思想;感悟数学表达对数学建模的重要性.在交流的过程中,能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题. 4.知道数学建模活动的主要过程包括选题、开题、做题、结题,能够选择简单的实际问题,完成数学建模活动. 1.通过在综合的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数学关系,提出数学问题,运用数学建模的一般方法和相关知识,建立数学模型,解决问题,培养数学建模素养. 2.通过理解数学建模的意义和作用,运用数学语言,清晰、准确地表达数学建模的过程和结果,在交流的过程中,能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象,培养数学运算、逻辑推理和数据分析素养. 知识探究·素养培育 探究点一 走近数学建模 [实际问题 哥尼斯堡七桥问题] 普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒).普莱格尔河有两个支流,在城市中心汇成大河,中间是岛区,在河上有七座桥,如图. 岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂,居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天,有人突发奇想:如何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发点 人们开始沉迷于这个问题,在桥上来来回回不知走了多少次,却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题. [实际问题的数学表述] 七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想:经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径,会不会根本不存在这样的走法 首先,欧拉想到的是列举法,就是把所有的走法都一一列出来,再一个一个验证.但是,他很快发现这样做太麻烦了,因为对七座桥的不同走法就有5 000多种,并且这种方法不具有通用性. 经过反复思考,欧拉想到:岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点,连接陆地的7座桥看作7条线,就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型. [数学问题的解决] 欧拉注意到,如果这样的图形能一笔画成,那么除去起点和终点外,其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是:只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点.有进无出,只能是终点;有出无进,只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点;否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点. 一笔画定理:一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两个条件: (1)图形是连在一起的,即是连通图形; (2)图形中的奇点个数为0或2. [用数学结论解答原问题] 在七桥问题中,四个点全是奇点,不能一笔画,即不可能一次无重复地走完七座桥. 1741年,欧拉的相关论文发表在《圣彼得堡科学院通讯》上,开创了图论和拓扑学两门新的学科. 欧拉对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,又用数学的思想方法分析、解决了这个问题,这个过程就是数学建模. [用数学结论解答相关问题] [例1] 如图是11个旅游景点的线路,要看完所有景点,请设计一条旅游线路. 解:有两个奇点,在8和5这两个位置,旅游线路可以是8→9→10→2→11→ 4→3→2→1→8→7→6→5→10→4→5. 探究点二 实例 ... ...
