本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点47 二项式定理（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 二项式定理的通项和二项式系数的性质. 二.知识梳理 1.二项式定理及其特例： （1），21世纪教育网 （2） 2．二项展开式的通项公式： 3．常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4.二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．[21世纪教育网 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）． 直线是图象的对称轴 （2）增减性与最大值： 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值 （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 三．考点逐个突破 1.求二项式的指定项或其系数 例1.（1） 在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( ) A．10 B．－10 C．40 D．－40 [答案]D [解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力． (2x2－)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x2)5－r(－)r＝C25－r(－1)rx10－3 r，令10 3r＝1得， r＝3， ∴T4＝C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40. [点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误． (2) 在(x－2)5(＋y)4的展开式中x3y2的系数为_____． [答案]480 [解析] (x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r(－2)r， 令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C(－2)2＝40；(＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()4－ryr，令r＝2得y2的系数C()2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480. (3) 在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是_____． [答案] －15 [解析] 从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 2.二项式系数的性质 例2.（1）多项式x10＝a0＋a1 (x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为 ( ) A．10 B．45 C．－9 D．－45 [答案] B [解析] x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C(x－1)＋C(x－1)2＋…＋C(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C＝C＝45. (2) 二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 ，则x在[0,2π]内的值为_____． [答案] 或 [解析] 由题意得T4＝C·sin3x＝20sin3x＝，∴sinx＝，∵x∈ [0,2π]，∴x＝或. (3) 若6的二项展开式中，x3的系数为，则二项式系数最大的项为_____．[来源:21世纪教育网] [答案] x3 [解析] ∵Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Ca－rx12－3r， 令12－3r＝3，得r＝3，∴Ca－3＝，解得a＝2. 故二项式系数最大的项为T4＝C(x2)3()3＝x3. 3.用赋值法求二项式各项系数的和 例3.（1）若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝_____. [答案] 256 [解析] (x－a)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x8－r·(－a)r＝(－1)rC·ar·x8－r， 令8－r＝5，则r＝3，于是a5＝(－1)3C·a3＝56，解得a＝－1， 即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256. (2) 设(x2＋1)( 2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案] A21世纪教育网 [解析] 依题意，令x＋2＝1，等式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a11.把x＝－1代入等式左边 ... ...
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