[十年高考]2004年-2013年上海市高考数学试题（理）分类解析汇编专题9：平面向量

[十年高考]2004年-2013年上海市高考数学试题（理）分类解析汇编 专题9：平面向量 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 [十年高考]2004年-2013年上海市高考数学试题（理）分类解析汇编由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对上海市2004年～2013年高考数学（理）解析的基础上分16专题进行分类汇编。 平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，它包括向量的概念和运算。向量的坐标表示，定比分点及数量积。以前教材中，在解析几何、复数中涉及到平面向量的问题，只是对一个概念的介绍；而在现在教材中，是高一的必学内容，教学大纲要求理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 2004年～2013年上海市高考对平面向量的考查主要集中在3个方面： 1. 平面向量的概念、性质和计算： 2. 平面向量的坐标表示和计算； 3. 平面向量与其它知识的综合。 一、平面向量的概念、性质和计算：平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。具有方向的线段叫做有向线段，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，则向量可以相应地记作 。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。有向线段AB的长度叫做向量的模，记作。 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 1. （2013年上海市理5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足【 】. A． B. C. D. 【答案】D。 【考点】平面向量数量积的运算，简单的合情推理。 【分析】由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为， ∴根据向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0。 ∵m、M分别为的最小值、最大值， ∴m＜0，M＜0。 故选D。 2. （2008年上海市理4分）若向量满足，且与的夹角为，则＝ ▲ . 【答案】。 【考点】平面向量数量积的运算。 【分析】∵向量满足，且与的夹角为， ∴。 二、平面向量的坐标表示和计算：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得向量 =xi+yj。因此，=xi+yj。我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：=（x，y）。 显然，其中（x，y）就是点P的坐标。向量称为点P的位置向量。 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 1. （2011年上海市理5分）设是平面上给定的5个不同点，则使成立的点的个数为【 】 A．0 B. 1 C. 5 D. 10 【答案】B。 【考点】向量的加法及其几何意义。 【分析】根据题意，设M的坐标为（x，y），则x，y解的组数即符合条件的点M的个数。 设A1，A2，A3，A4，A5的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）， 若成立，则。 只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个。 故选B。 2. （2007年上海市理4分）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量 在直角三角形中，若，则的可能值个数是【 】 A．1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B。 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，分类思想的应用。 【分析】∵，∴。 （1）若A为直角，则； （2）若B为直角，则； （3）若C为直角，则。 ∴k的可能值个数是2。 故选B。 3. （2006年上海市理4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是【 】 A． B. C. D. 【答案】C。 【考点】向量加减混合运算及其几何意义。 【分析】在 ... ...