【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点44相关关系、回归分析与独立性检验（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 利用散点图判断变量之间是否存在相关关系；求回归直线方程和利用回归直线作出估计；独立性检验. 二.知识梳理 1．两个变量的线性相关 (1)正相关． 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关． 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线． 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程 方程 ＝ x＋ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数． ， , 3．残差分析 (1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为 i＝yi－ i＝yi－ xi－ ，i＝1,2，…，n. i称为相应于点(xi，yi)的残差． (2)相关指数R2＝1－R2越大，意味着残差平方和 越小 ，即模型的拟合效果越好R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 ．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好 ． 4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的 频数表 ，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”． 三．考点逐个突破 1.散点图与相关关系的判断 例1. 在一组样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A．－1 B．0 C. D．1 [答案] D [解析] 样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y＝x＋1上，样本的相关系数应为1. 要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系． 2.利用回归直线方程对总体进行估计 例2.(1) 某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值计算，得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则其回归直线方程为( ) A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x [答案] A [解析] 由i＝52，i＝228知，＝6.5，＝28.5，＝ ＝≈2.62， ∴＝－＝28.5－2.62×6.5＝11.47. (2)在某医学实验中，某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只验动物进行血检，得到如下资料： 动物编号 1 2 3 4 5 6 用药量x(单位) 1 3 4 5 6 8 抗体指标y(单位) 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 记s为抗体指标标准差，若抗体指标落在(－s，＋s)内，则称该动物为有效动物，否则称为无效动物．研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验． (1)求选取的两只动物都是有效动物的概率； (2)若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出y关于x的线性回归方程为＝0.17x＋a，试求出a的值； (3)若根据回归方程估计出的1号和6号动物抗体指标数据与 ... ...
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