3.3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 同步练习（含解析）

3.3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 1.已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与,共同构成空间向量的一组基底的向量是( ) A. B. C. D.以上都不能 2.已知直线AB,BC, 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为( ) A.1 B. C. D. 3.已知是空间的一组基底,则可以与向量,构成基底的向量是( ) A. B. C. D. 4.已知在空间单位正交基底下,是空间的一组单位正交基底,是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 5.对于空间任意一点和不共线的三点,有如下关系：,则( ) A.四点必共面 B.四点必共面 C.四点必共面 D.五点必共面 二、能力提升 6.已知,若(为坐标原点),则的坐标是( ) A. B. C. D. 7.已知空间任意一点和不共线三点.若,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8.若向量的起点与终点互不重合且无三点共线,且满足下列关系(是空间任一点),则能使向量成为空间一个基底的关系的是( ) A. B. C. D. 9.已知是标准正交基底,且,则的坐标为( ) A. B. C. D. 10.在四面体中,点在上,且为的中点,若 则当点与共线时,实数的值为( ) A.1 B.2 C. D. 11.已知，，若，，且平面ABC，则_____. 12.已知，，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_____. 13.设向量，，且，则的值为_____. 14.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，F是棱PD的中点，E是棱CD的中点. （1）证明：平面PAC； （2）证明：. 15.已知向量，，向量b同时满足下列三个条件：①；②；③. （1）求的模； （2）求向量b的坐标. 答案以及解析 1.答案：C 解析：,与，共面，不能与，共同构成空间向量的一组基底.易知,均能与，共同构成空间向量的一组基底.故选C. 2.答案：D 解析：由题意，知,,不共面，四边形为平行四边形，,为空间的一组基底., ，，,,. 3.答案：D 解析：只有与,不共面，故可以与,构成空间的一组基底. 4.答案： C 解析：设向量在基底下的坐标为,则,整理得,所以解得所以向量在基底下的坐标是.故选C. 5.答案：B 解析：对于空间任一点和不共线三点,若点满足且,则四点共面.而,其中,所以四点共面.故选B. 6.答案：B 解析：.点的坐标为.故选B. 7.答案：D 解析：因为,又,所以,整理得.故选D. 8.答案：C 解析：A中,因为,所以共面；B中,,但可能,所以四点可能共面；D中,因为,所以四点共面.故选C. 9.答案：A 解析：根据空间向量坐标的定义,知,故选A. 10.答案：A 解析：,若三点共线,则存在实数使得,所以,解得,故选A. 11.答案： 解析：已知，由题意，可得，. 利用向量数量积的运算公式，可得解得 . 12.答案： 解析：与b的夹角为钝角， ，解得.由题意得a与b不共线，则，解得，的取值范围是. 13.答案：168 解析：由题意,可设, 又因为，， 所以， 即解得 所以，， 所以. 14.答案：（1）设，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则，，，，，所以，，设平面PAC的法向量为，则令，则，，即，又，，所以平面PAC. （2）由（1）得，，因为，所以，所以. 15.答案：（1），， ， . （2）设，则①，②，③， 由①②③得或 或. 2 ... ...