专题09 立体几何与空间向量讲义 -2023届新高考1卷高考二轮复习 解答题篇（无答案）

专题09 运用空间向量研究立体几何问题 平行 垂直 角 异面直线角：平移 线面角：作平面垂线（由面面垂直得线面垂直） 二面角：作三垂线（由等体积法求垂线长） 题组一 平行关系的证明 类型一 线线平行证明线面平行 中位线法 1．已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，点E，F分别是，的中点． 求证： 平面． 平行四边形法 2．在四棱锥P-ABCD中，，，，点E在棱PD上，且． 求证：AE∥平面PBC； 类型二 线面平行证明线线平行 （2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）如图，在四棱锥中，，，，△是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段上一点. 设平面平面，证明：平面； 类型三 面面平行证明线面平行(双中点） （2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点． 证明：平面BEF； 题组二 垂直关系的证明 1、如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点． 证明：． 2．（浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题）如图，在三棱柱中，. 证明：平面； 3．（浙江省绍兴市嵊州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）已知平行六面体，底面是边长为2的菱形，且，． 证明：平面平面； 题组三 线面角、二面角的定义 （浙江省温州市高三下学期3月适应性测试）如图，在三棱锥中，，． （1）证明：； （2）有三个条件； ①； ②直线与平面所成的角为； ③二面角的余弦值为． 请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值． 2．（2021·浙江高三月考）已知四边形，，，将沿翻折至. （Ⅰ）若，求证：； （Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值. 题组四 点到平面的距离 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形， ，分别为的中点，且．求点到平面的距离． 题组五 线面角、二面角的几何求法 类型一 线面角几何求法———等体积法 （浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题）已知三棱锥，是等腰直角三角形，是等边三角形，且，，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值 类型二 二面角几何求法———垂面法 如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体． (1)求证BC⊥平面AFG． (2)求二面角B-AE-D的余弦值． 类型三 二面角几何求法———三垂线定理 如图， 和 所在平面互相垂直，且 ，，， 分 别为 ， 的中点． （1） 求证：； （2） 求二面角 的正弦值 题组六、探索性问题 1、（2021·山东滨州市·高三二模）如图，在四棱锥中，O是BD的中点，平面ABCD，，，. （1）求证：平面平面； （2）设，若二面角的余弦值为，求的值. 2、（2021·福建厦门双十中学高三其他模拟）已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD． （1）求证：AE⊥BD； （2）是否存在一点F，满足 (0＜≤1)，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出的值，否则请说明理由． 题组七、线面角、二面角的空间向量求法 类型一 线面角 1、（2021·山东聊城市·高三三模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，以BD为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且． （1）证明：； （2）若M为PB的中点，二面角的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值． 2、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）如图，圆柱的高为3，是圆柱的下底面圆的内接三角形，是上底面圆内的一条弦，均为圆柱的母线，且分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若是等边三角形，求直线与平面所成 ... ...