解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ———形成精准思维模式，快速解题 类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝ .【方法16】 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.【方法16】 (1)求证：DE＝DF； (2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由) 3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为【方法16】（ ） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2 类型二 利用等腰直角三角形构造全等 5．★如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P.求证：BP＝PE. 类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6．★如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD. 参考答案与解析 1．40° 2．(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD(AAS)．∴DE＝DF； (2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段AE，AF，BE，CF，DF. 3．证明：作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB. 4．B 5．证明：作EM⊥AP于M.∵∠ACB＝90°，∴∠M＝∠ACD.∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∠EAM＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠AEM.在△ADC和△EAM中，∴△ADC≌△EAM(AAS)．∴AC＝EM.∵AC＝BC，∴BC＝EM.∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠M.在△BCP和△EMP中，∴△BCP≌△EMP(AAS)．∴BP＝PE. 6．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)．∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.类比归纳专题：证明线段相等的基本思路 ———理条件、定思路，几何证明也容易 类型一 已知“边的关系”或“边角关系”用全等 1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证： (1)AC＝AD； (2)CF＝DF. 2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形． 类型二 已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边” 3．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF. 4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N. (1)求证：AN＝AC； (2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由． 类型三 已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质 5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF. 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证： (1)CF＝EB； (2)AB＝AF＋2EB. 参考答案与解析 1．证明：(1)在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD； (2)在Rt△ACF和Rt△ADF中，A ... ...
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