22.3 实践与探索 教学内容 知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系． 教学目标 1．知识与技能． （1）会从具体实例中发现一般的规律． （2）知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系． 2．过程与方法． （1）经历探索二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系的过程． （2）学会从具体到抽象、从特殊到一般的探索方法． 3．情感、态度与价值观． （1）积极参与观察、实践、讨论等数学学习活动． （2）体验发现问题，总结规律的成功感受． （3）养成质疑和独立思考的习惯． 重难点、关键 1．重点：懂得二次项系数为1的一元二次方程的根与系数之间的关系． 2．难点：理解一元二次方程根与系数关系的推导过程． 3．关键：引导学生参与解一元二次方程并比较根与系数的关系． 教学准备 1．教师准备：小黑板．（展示更多一元二次方程并比较根与系数的关系） 2．学生准备：解十道二次项系数为1的一元二次方程（有实数解），并算出两根之和与两根之积． 教学过程 一、复习回顾，导入新课 1．解一元二次方程的一般方法． 2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ （1）x2-2x=0;（2）x2+3x-4=0;（3）x2-5x+6=0 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 二、合作交流，探索新知 1．完成上述表格的填空． 2．与自己的预习作业[十道二次项系数为1的一元二次方程（有实数解），并算出两根之和与两根之积]进行比较，猜想一元二次方程的两个根的和与积与原方程的系数有什么联系？ 3．与同伴交流，并总结出规律：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项．（前提：二次项系数为1） 一般地，对于关于x的方程x2+px+q=0，（p、q为已知常数，p2-4q≥0）．x1、x2是它的两个解，写出x1、x2与p、q的关系：x1+x2=-p，x1·x2=q． 4．你能说出上述关系的道理吗？ 5．推导过程： 解：∵a=1，b=p，c=q b2-4ac=p2-4q≥0 ∴x= 与上面猜想的结论一致． 三、范例学习，加深理解 1．例1：不解方程，求方程两根的和两根的积． （1）x2+3x-1=0 （2）2x2-4x+1=0 解：（1）∵b2-4ac=32-4×1×（-1）=13≥0 ∴x1+x2=-p=-3 x1·x2=q=-1 （2）∵b2-4ac=32-4×1×（-1）=13≥0 原方程化为：x2-2x+=0 ∴x1+x2=-p=2 x1·x2=q= 点拨：必须先计算判别式：b2-4ac的值，只有当b2-4ac≥0时，才可以求两根的和两根的积，否则写出的两根的和两根的积也没有意义． 2．例2：求一元二次方程，使它的两个根是-3，2． 解：设所求方程x2+px+q=0，则 -3+2=-p -3×2=q p=-，q=- 所求方程为： x2+x-=0 即6x2+5x-50=0 点拨：先设所求方程x2+px+q=0，再根据根与系数的关系确定p和q的值． 四、随堂练习，巩固深化 1．基础训练． （1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？ ①x2-3x+1=0 ②3x2-2x=2 ③2x2+3x=0 ④3x2=1 （2）已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值． （3）设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值． ①（x1+1）（x2+1） ② （4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：①4，-7；②1+，1-． 2．探研时空． （1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，你能探索出任意的一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）的两根与系数a、b、c的关系吗？ （2）已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数． 点拨：（1）方程两边都除以a，就可以化为x2+px+q=0的形式．记住本题结论，对学习有帮助．（2）将这两个数理解为某一个方程的两根，根据条件可构造出这个方程，从而将求两个数的问题转化为求一元二次方程的解的问题． 五、归纳总结，提高认识 1．综述本节课的主要内容． 2．谈谈本节课的收获与体会． 六、布置作业，专题突破 1．课本P36习题2 ... ...
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