7.2.4 诱导公式（1） 【学习目标】 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2.理解诱导公式的推导过程． 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 【学习过程】 一、课前预习 预习课本，思考并完成以下问题 (1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？ (2)诱导公式的内容是什么？ (3)诱导公式一～四有哪些结构特征？ 二、课前小测 1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( ) ①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β. A．1 B．2 C．3 D．4 2．tan等于( ) A．－ B. C．－ D. 3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝_____. 4．求值：(1)sin＝_____. (2)cos＝_____. 三、新知探究 1．公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sinα， cos(π＋α)＝－cosα， tan(π＋α)＝tanα. 2．公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sinα， cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tanα. 3．公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sinα， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tanα. 思考： (1)诱导公式中角α只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？ 提示： (1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. (2)诱导公式一～四都不改变函数名称． 四、题型突破 题型一 给角求值问题 【例1】 求下列各三角函数值： (1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)． 【反思感悟】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”———用公式一或三来转化； 2“大化小”———用公式一将角化为0°到360°间的角； 3“小化锐”———用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 4“锐求值”———得到锐角的三角函数后求值. 【跟踪训练】 1．计算： (1)cos＋cos＋cos＋cos； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． 题型二 给值(式)求值问题 【例2】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A. B. C. D．－ (2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 【多维探究】 1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值． 2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？ 【反思感悟】 解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键. 题型三 利用诱导公式化简问题 [探究问题] 1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α. 2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？ 提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z) 【例3】 设k为整数，化简：. 【反思感悟】 三角函数式化简的常用方法 1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用. 【跟踪训练】 2．化 ... ...
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