7.1.2弧度制及其与角度制的换算 【学习目标】 1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 【学习重难点】 重点： 弧度的角概念的理解，弧度制与角度制的互化． 难点： 弧度的角概念的理解． 【学习过程】 一、课前预习 预习任务一：知识预习 预习课本，思考并完成以下问题 (1)1弧度的角是如何定义的？ (2)如何求角α的弧度数？ (3)如何进行弧度与角度的换算？ (4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？ 预习任务二：简单题型通关 1．下列各种说法中，不正确的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．若一扇形的圆心角为π，半径为20 cm，则扇形的面积为( ) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度． ①60°＝_____，150°＝_____； ②＝_____，＝_____． 4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝_____，面积S＝_____． 二、新知精讲 1．角的单位制 (1)角度制： 规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制： 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写． (3)角的弧度数的求法： 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝． [点睛] (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3．5 rad可写成α＝－3．5．而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略． (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0．017 45 rad 1 rad＝°≈57．30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3．弧度制下的弧长与扇形面积公式 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l＝ S＝ 弧度制 l＝|α|·r S＝ lr＝|α|r2 [点睛] (1)在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”． (2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入． (3)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆． (4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量． 三、题型探究 题型一 角度与弧度的换算 [例1] 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－． (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角． [归纳总结] 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数． [活学活用] 将下列角度与弧度进行互化： (1)π； (2)－； (3)10°； (4)－855°． 题型二 用弧度制表示终边相同的角 [例2] 已知角α＝－2 018°． (1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角． [归纳总结] 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用． [活学活 ... ...
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