第十二节导数的应用(一) [知识能否忆起] 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0 f(x)在(a，b)上为增函数． f′(x)≤0 f(x)在(a，b)上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选D ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0， ∴a＝5. 2．(2012·辽宁高考)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( ) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)， y′＝x－＝，令y′≤0，则可得00，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是_____． 解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)≥0 a≤3. 答案：3 1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分 不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点． 3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． 运用导数解决函数的单调性问题 典题导入 [例1] (2012·山东高考改编)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． [自主解答] (1)由f(x)＝， 得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又ex>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 由题悟法 求可导函数单调区间的一般 ... ...
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