《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）等差数列及其前n项和（含解析）

第二节等差数列及其前n项和 [知识能否忆起] 一、等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 三、等差数列的性质 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． [小题能否全取] 1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　) A．1　　　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选B　法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得故d＝2. 法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. 又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. 2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　∵a2＋a6＝，∴2a4＝. ∴sin＝sin＝－cos＝－. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　) A．58 B．88 C．143 D．176 解析：选B　S11＝＝＝88. 4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝_____. 解析：由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列其公差为2. 故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 答案：2n－1 5．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝_____，Sn＝_____. 解析：设{an}的公差为d， 由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d， 又a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1， Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋(n2－n)× ＝n2＋n. 答案：1　n2＋n 1.与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． (2)Sn＝n2＋n＝An2＋Bn d＝2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值． 2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 等差数列的判断与证明 典题导入 [例1]　在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列． [自主解答]　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n∈N*， ∵bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1， ∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列． 由题悟法 1．证明{an}为等差数列的方法： (1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2) {an}为等差数列； (2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列； (3)通项法：an为n的一次函数 {an}为等差数列； (4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－ ... ...