直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [知识能否忆起] 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝. 二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方 程 局限性 点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) ＝ 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析：选C 由k＝tan α＝－，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( ) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0. 3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1. 4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_____． 解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4 5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为_____． 解析：由已知得直线l的斜率为k＝－. 所以l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论． 直线的倾斜角与斜率 典题导入 [例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( ) A．－1 B．－3 C．0 D．2 (2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是_____． [自主解答] (1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3. (2)由题知k＝－cos θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪. [答案] (1)B (2)∪ 由题悟法 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 以题试法 1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( ) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°. 2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪ D. 解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB. ∵kPA＝－2，kPB＝， ∴－2≤k≤. 直 线 方 程 典题导入 [ ... ...
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