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课件网) 3.1.1 空间向量及其加减运算 空间向量的定义、表示方法、及相等关系都与平面向量相同。 复习回顾：向量 定义： 既有大小又有方向的量叫做向量。 用有向线段表示 用小写字母表示，或者用表示 向量的有向线段的起点和终点字母表示 相等向量： 零向量： 单位向量： 相反向量： 长度为0的向量 模为1的向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 几何表示法： 字母表示法： 2、平面向量的加法、减法 三角形法则：首尾相连，连首尾 向量加法的平行四边形法则 三角形法则：起点相同，方向指向被减向量 a － b a ＋ b a A B b C a A B b D C a A B b C a ＋ b 3、平面向量的加法运算律 加法交换律： 加法结合律： 空间任意两个向量是否都可以转化 为平面向量？为什么？ 由O、A、B、三点确定一个平面 或共线可知， 已知空间两个任意向量 、 作 O A B 空间任意两个向量都 可用同 一平面内的有向线段表示。 空间--平面 空间向量加法的推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量. 二、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使 推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量. O A B P a 空间任意直线由空间一点和直线的方向向量来决定， 可以判断三点共线问题。 3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 ，则P、A、B共线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. O A 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。 探究： 对空间任意两个不共线的向量 2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 （其中 ）的四点P、A、B、 C是否共面？ 注意： 空间四点P、M、A、B共面 实数对 O A B 两空间向量的夹角： 如图，已知两个非零向量 ，在空间任取一点O， 作 ，则 叫做向量 的夹角， 记作： 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零. 两个向量的数量积 注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据. 空间两个向量的数量积的性质 空间向量的数量积满足的运算律 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足 则△BCD是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 C 1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝_____，a2＝_____，b2＝_____，(a＋2b)·(a－b)＝_____. [答案] 45° A B C D A1 B1 C1 D1 a 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。 （6）平行六面体 定义1：底面是平行四边形的四棱柱。 定义2：平行四边形ABCD按向量 平移到 A1B1C1D1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体. 例1：已知平行六面体 ... ...
