奥赛辅导[上学期]

竞赛讲座－平面三角 三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一． 一、三角函数的性质及应用 　 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用． 【例1】　求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。 解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。 由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。 即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。 【例2】　 若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。 解：∵在（0，）中，sinx0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0， ∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d． 对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。 显然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。 故存在唯一的c＜d，使命题成立。 【例5】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。 解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ<。 ∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。 作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。 【例6】　 n∈N，n≥2，求证：cos·cos· ··· ·cos>。 证明：∵0<<<···<<<1， ∴01-=，k=2，3，…，n。 ∴(cos·cos· ··· ·cos)2>(·)·(·)·(·)···(·) =·>>()2， ∴cos·cos· ··· ·cos>。 二、三角恒等变换 众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。 【例1】（1）已知cosβ= -，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα的值。 （2）已知sin(-α)= ，求的值。 提示：（1）sinα=。 （2）sin2α=1-2 sin2(-α)=；=。 【说明】三角变换重在角的变换。 【例2】求coscoscos…cos的值。 解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ=，得 coscoscoscos= -，∴coscoscoscos=。 又coscos=，cos=， ∴coscoscos…cos=××=。 解法2：coscoscos…cos =··· ··· · ==。 解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，取α=、。 【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。 解：由倍角公式得 cos4θ=()2= (1+2cos2θ+cos22θ)= +cos2θ+cos4θ， ∴cos420°+cos440°+cos480°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°) +(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°) = +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。 【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。 解：令θ=-β，则 (1)÷(2)得tg=， cos(α+θ)=， ∴sinαcosβ=sinαsinθ= -[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -。 【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0<θ<π，求θ。 解法一：由偶函数的定义，可得(cosθ+sin ... ...