1.4.5 用向量方法解决综合问题 课时教学设计

空间向量的综合应用课时教学设计 （一）教学内容 运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题，运用空间向量解决实际问题。 （二）教学目标 1.能利用空间向量解决立体几何问题中的平行、垂直等位置关系问题． 2.能利用空间向量解决立体几何问题中的距离、夹角等度量问题． 3.根据具体情境，将实际问题转化成数学模型，利用空间向量解决实际问题，并体会向量的工具作用。 4.掌握用向量法解决立体几何问题的思路和一般步骤，能归纳总结利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模核心素养. （三）教学重点和难点 重点：运用空间向量解决立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题 难点：将立体几何问题转化为向量问题 （四）教学过程设计 前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系，以及这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算进一步研究并体会向量法解决立体几何中的综合性较强的问题。 1.典型例题，实践应用 例1：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N）. 问题1：“降落伞在匀速下落”是什么意思？ 学生回答：礼物所受绳子的拉力的合力与其自身重力平衡，合力的大小等于重力的大小。 【设计意图】让学生区分力是一个矢量，根据问题研究的对象以及物理学中力的平衡关系，学生构建一个等量关系，即礼物所受绳子的拉力的合力的大小等于其自身重力的大小。 追问1:“有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为”，我们可以得到哪些信息？ 学生回答：问题描述的立体图形结构对称，研究清楚一根绳子的情况就可以了。研究拉力的合力，就是看作每个向量在竖直方向上的投影向量，其大小就是投影向量的模长。 追问2:如何用向量方法解决这个问题 学生回答：构建一个等量关系：拉力的合力=礼物的重力，根据等量关系求解。 【设计意图】通过问题串，能让学生更好的理解题干信息，通过分析题干信息获得解决问题的思路。 追问3:你能根据上述思路计算出每根绳子拉力的大小吗 解： 设水平面的单位法向量为,其中每一根绳子的拉力均为, 因为=, 所以向量在向量上的投影向量为： ， 所以八根绳子拉力的合力合=8*=4， 有因为降落伞匀速下降，所以|合|=|礼物|=19.8=9.8（N）， 所以 ，所以 即：降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小是. 【设计意图】从实际问题出发构建数学模型再到利用数学知识解决问题，体会向量在解决问题中的工具作用，关注规范解题，作好学生的示范，特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题来求解，最后回答实际问题。 追问4：回顾一下，我们是如何解决这个实际问题的？ 学生回答：我们将实际问题抽象成数学问题，在此过程中需要对物体进行受力分析，即8根绳子所受拉力的合力与物体自身的重力相等，构造等量关系，利用向量的线性运算求解数学模型，通过数学问题的解来解释实际问题。 【设计意图】从实际问题出发构建数学模型再到利用数学知识解决问题，体会向量在解决问题中的工具作用，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模素养，提升学生归纳和总结的能力。 例2：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD, PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F. 求证：PA平面EDB ; （2）求证：PB 平面EFD ; （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 问题2:如何用几何法证明线面平行？ 学生回答 ... ...