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课件网) 2.3 双曲线 2.3.1双曲线及其标准方程 高中数学人教A版 学习目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 素养目标： 通过双曲线及其标准方程的学习，逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养. 生活中的美 引入： 回顾椭圆定义：与两定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆. 思考？ 与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 实验：如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1,F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是满足条件P={M||MF1|-|MF2|=常数}的点的集合. 如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（如图左边的曲线）.这条曲线是满足条件 P={M||MF2|-|MF1|=常数}.这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支. 思考？类比椭圆定义，能否给出双曲线定义？ 双曲线的定义： 把平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的定义用集合语言表为: P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 思考？为什么定义中必须要求“常数小于|F1F2|？ ①.若2a=|F1F2|,则M轨迹为以F1，F2为端点的两条射线. ②.若2a>|F1F2|,则M轨迹不存在. ③.若2a<|F1F2|,则M轨迹为双曲线. 注意：定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支 A B 练一练： 否 是 否 否 否 否 探究： 类比椭圆的标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程？ 双曲线标准方程推导过程：（建，设，现，代，化） 根据双曲线的几何特征，选择恰当的坐标系，建立双曲线的标准方程. 建立空间直角坐标系xoy,使x轴经过两焦点F1,F2,y轴为线段F1F2的垂直平分线. 设M(x,y)是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为2c,(c>0),那么， 焦点F1,F2的坐标分别是（-c,0), (c,0).设点M与F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数2a. 由定义可知，双曲线就是集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a}.（现有关系式） 代点坐标： 化简： 思考？类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，如图，双曲线的焦点分别是F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意义同上，此时双曲线的标准方程是什么？ 总结： 例1：已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 典例分析： D 例2：已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 例3：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1).焦点在 轴上，a=3,c=5; (3).经过（3， ），（ ，5）两点. 方法技巧： 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤： ①定位置→根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，还是两种都有可能. ②设方程→根据焦点位置，设方程为 ③.寻关系→根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组. ④.得方程→解方程组，将a,b,c(m,n)代入所设方程即为所求. C A B 6或-6 小结： 1.会根据双曲线定义判断动点轨迹， 2.熟悉双曲线标准方程结构特点，会求双曲线标准方程 3.对比椭圆求焦点坐标，熟记a,b,c关系 4.利用双曲线定义求焦点三角形面积 练习：P书55练习1，2，3，P书61习题A组 1题 作业：P书61习题A组 2题（1），（2） 类比椭圆，预习双曲线的简单几何性质 ... ...
