中小学教育资源及组卷应用平台 第十二讲 导数的应用 【考纲解读】 理解函数单调性，函数零点，函数极值和函数最值的基本概念； 理解可导函数单调性，极值和最值与导数的关系； 掌握函数在闭区间上最值存在定理，掌握判断函数极值点和极值存在的基本方法，掌握求函数极值，函数零点和函数在闭区间上最值的基本方法； 能够熟练应用导数判断函数的单调性（或求函数的单调区间），求函数极值，函数零点和函数最值。 【知识精讲】 一、应用导数判定函数的单调性： 1、可导函数单调性与导数的关系： 定理：设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且导数为（x）。 (1)如果对任意的x（a，b），都有（x）≥0（但（x）不恒为0），则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递增函数（注意其逆定理不一定成立）； (2)如果对任意的x（a，b），都有（x）≤0（但（x）不恒为0），则函数f(x)是区间（a，b）上的单调递减函数（注意其逆定理不一定成立）； (3)如果对任意的x（a，b），都有（x）=0，则函数f(x)是区间（a，b）上的常值函数。 2、应用导数判断函数单调性的方法： （1）求出函数的定义域； （2）求出函数f(x)的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根； （3）用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间； （4）判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由可导函数单调性与导数的关系判断函数f(x)在各个小区间的单调性； （5）得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。 3、求函数单调区间的方法： （1）求出函数的定义域； （2）求出函数f(x)的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根； （3）用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间； （4）判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由可导函数单调性与导数的关系判断函数f(x)在各个小区间的单调性； （3）得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。 4、应用导数判断含有参变量函数f(x)的单调性： （1）参数分类的原则和基本方法：①对方程（x）=0的根是否在函数f(x)的定义域内进行分类；②对方程（x）=0的根与函数f(x) 间断点（不属于f(x)定义域的点）的横坐标的大小进行分类； （2）在参数分类的基础上，运用应用导数判断函数单调性的基本方法对函数f(x)的单调性进行判断； （3）综合得出函数f(x)的单调性。 5、已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）： （1）根据函数的单调性，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立（注意（x）=0在区间上不能恒成立）； （2）求解不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立时参数的值（或取值范围）； （3）得出函数f(x)解析式中参数的值（或取值范围）（注意（x）=0在区间上不能恒成立）。 二、应用导数求函数的极值： 1、函数极值的定义： （1）设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)≤f()成立，则称f()是函数的一个极大值，记作 ； （2）设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)≥f()成立，则称f()是函数的一个极小值，记作； 2、运用导数判断函数极值存在的基本方法： （1）求出函数的定义域； （2）求出函数f(x)的导函数（x），令导函数（x）=0，求出可能的极值点（导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）； （3）设函数f(x)在可能的极值点处连续。①如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的极大值；②如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<0，则f()是函数f(x)的极小值 ... ...
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