3.1.3 函数的奇偶性题型讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（含答案）

3.1.3函数的奇偶性 一、函数的奇偶性 1．偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数． 2．奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． 二、奇、偶函数的特点 1.奇、偶函数定义域的特点：奇、偶函数的定义域关于原点对称． 2.奇、偶函数的对应关系的特点： （1）奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)； （2）偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)． 3.奇、偶函数图像的特征： （1）奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形 （2）偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 4.奇、偶函数与单调性的关系 （1）若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致． （2）若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反． 5.奇、偶函数的其他特征 （1）若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； （2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合； （3）函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 三、判断函数奇偶性的方法： 1.定义法： （1） 常见函数的奇偶性：如一次、二次、反比例函数. 分段函数奇偶性的判定： 图像法： 函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数. （2）函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数. 3.性质法： 设非零函数f(x)，g(x) 的定义域分别是F，G，若F=G，则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示： 四、（拓展）函数图像的对称性： 五、考点剖析： 题型一：判断函数的奇偶性 1.判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝|x＋1|－|x－1|； （2）f(x)＝＋ ； （3）f(x)＝； （4） （5） （6） 【解析】　(1)因为x∈R，所以－x∈R， 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]． 即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0， 又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)．所以f(x)为奇函数． (4) （5）∵函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数. （6）∵函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数. 2.判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4）f(x)＝ 解析：（1） （2） （3） （4）当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)； 当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0. 综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数． 3.判断下列函数的奇偶性： （1）若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 （2）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数f(x)的奇偶性. 【解析】（1） 因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数， 所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx. 所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数．【答案】 A （2） 题型二：利用函数的奇偶性求解析式 1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【解析】　当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f ... ...