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课件网) 3.2立体几何中的向量方法学习目标 1.用向量表示空间中的点、直线和平面的位置； 2.用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等； 3.利用空间向量求距离； 4.用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”； 向量方 法与坐标方法结合解决立体几何问题. 重难点 重点：理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法 （“三步曲”）； 难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何 问题转化为向量问题. 从上一节，我们把向量从平面推广到空间， 并利用空间向量解决了一些立体几何问题.你是否已经初步体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用？这一节我们将进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来. 新课导入 思考1： 1.如何确定一个点在空间的位置？ 2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？ 3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 讲授新课 问题1.如何确定一个点在空间的位置？OP一、点的位置向量在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.ABP问题2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？ 二、直线的向量参数方程 空间中任意一条直线,可以通过上的一个定点A和的一 个方向向量来确定.设点P是上的任意一点，则有向量表 示形式,其中为实数，这种形式叫做直线的点向式 表示.注意：同一条直线的点向式表示并不唯一，例如直线 可以表示为，或,这里的是不同的实数 和是不同的向量，但是一定有. 此方程称为直线的向量参数方程.这样点A和向量不仅 可以确定直线的位置，还可以具体写出上的任意一点. 问题3.给一个定点和两个定方向（向量）， 能确定一个平面在空间的位置吗？ 空间中任意一个平面α，有两种向量表示形式： （1）通过α上的一个定点O和两个向量和来确定. 空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.设 这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为和，设 点P是α上的任意一点，则α有向量的表示形式,其中为实数，这种形式与平面向量基本定理一致.注意：同一个平面的这种形式的表达式并不唯一.例如，平面α可以表示为，或,这里的,,,.不完全相同. 这样点O和向量, 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意一点. （2）通过α上的一个定点O和一个向量来确定. 设点P是α上的任意一点，则α有向量表示形式=0, 其中是α的法向量，这种形式叫做平面的点法式表示. 注意：同一个平面的这种形式的表达式并不唯一. 例如：平面α可以表示为=0，或=0，这里的 和是不同的法向量，但法向量一定是非零向量，且一定 有. 问题4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 从以上可以看出，用空间向量确定点、直线、平面的位 置时,都需要事先确定某个定点，作为表达式中向量的起 点,例如以上所说的O,A等.所谓用空间向量确定点、直线、 平面的位置,即用空间向量形式可以表达空间中确定的点、 直线、平面.这样就能将立体几何问题转化为向量问题来讨论,这是学习用空间向量确定点、直线、平面的位置的目的. 想一想 1.如果另有一条直线,在直线上任取向量 ,与（是法向量）有什么关系 2.如何求平面的法向量？ 共线 练习1：如图所示, 正方体的棱长为 直线OA的一个方向向量坐标为_____ 平面OABC 的一个法向量坐标为_____ 平面AB1C 的一个法向量坐标 ... ...
