2014高考数学(文科)二轮专题突破素材：专题三 数列、推理与证明 第1讲（主干知识梳理+热点分类突破+押题精练）

第1讲　等差数列、等比数列 【高考考情解读】　高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题． 1． an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝ 2． 等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 an－an－1＝常数(n≥2) ＝常数(n≥2) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 判定方法 (1)定义法(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1) {an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数) {an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数) {an}为等差数列(5){an}为等比数列，an>0 {logaan}为等差数列 (1)定义法(2)中项公式法：a＝an·an＋2(n≥1)(an≠0) {an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*) {an}为等比数列(4){an}为等差数列 {aan}为等比数列(a>0且a≠1) 性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列 前n项和 Sn＝＝na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝(2)q＝1，Sn＝na1 考点一　与等差数列有关的问题 例1　在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若a1>0，当Sn取得最大值时，求n的值； (2)若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值． 解　(1)设{an}的公差为d，则 由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－a1. ∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n ＝－a1(n－12)2＋a1. ∵a1>0，∴当n＝12时，Sn取得最大值． (2)由(1)及a1＝－46，得d＝－×(－46)＝4， ∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50， Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n. ∴bn＝＝ ＝2n＋－52≥2－52＝－32， 当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立． 故bn的最小值为－32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列； ③am－an＝(m－n)d d＝(m，n∈N*)； ④＝(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和)． (3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A2＋B2≠0)． (1)(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是 (　　) A．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d<0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0 D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列 (2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)利用函数思想，通过讨论Sn＝n2＋n的单调性判断． 设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n. 由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确； 因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误； 对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确． (2)am＝2，am＋1＝3，故d＝1， 因为Sm＝0，故ma1＋d＝0， 故a1＝－， 因为am＋am＋1＝5， 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d ＝－(m－1)＋2m－1 ... ...