汉中市 2023 届高三年级教学质量第一次检测考试 数学（理 科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C D B A C A D B C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 2x y 65 1 e 0 n14. 15. a n 3 16. R(S S S S ) 2 n 3 1 2 3 4 三、解答题：共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17～21 题是必考题，每个 考生都必须作答.第 22、23 题是选考题，考生根据情况作答. （一）必考题：共 60 分. 17.解：（1）∵ 2 = ， ∴由正弦定理得(2 ) = ，……………………………………(2 分) 所以 2 = + = sin + = ，…………………………………………………(5 分) 由于 ≠ 0，则 = 1 ， C …………………………………………………(6 分) 2 3 （2）由（1）得 = 3， = 1 × 3 = 3，∴ = 4，……………………………(8 分) 2 2 2 由余弦定理得 2 = 2 + 2 = + 2 3 ，………………………………………(10 分) ∴ + 2 = 2 + 3 = 5 = 20， ∴ + = 2 5…………………………………………………………………………………(12 分) 18.解：（1）证明：由于四边形 为菱形，则 ⊥ ………………………………(1 分) ∵ ⊥平面 ， 平面 ≠ ∴ ⊥ …………………………………………………………………………(3 分) 又∵ ∩ = , 平面 F , 平面 ≠ ≠ ∴ ⊥ 平面 ∴ ⊥ ………………………………………………………(6 分) （2）取 的中点 ，连接 ，∵ ∠ = 60 , = ， ∴△ 为等边三角形， ∴ ⊥ ， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 理科数学答案 第 1 页 共 4 页 由题意得 0,0,2 ， = 1, = 3, = 1,又∵ ‖ , 则 0,0,0 ， 3, 1,0 ， 3, 1,0 ， 0,2,0 ， 0,2,1 ， = 3, 1,0 ， = 3, 3,0 ， = 0,2,1 ， …………………………………………(8 分) 由（1）知 ⊥ 平面 ，则可取 为平面 的法向量 设平面 的法向量为 = , , ，则 = 0 ， = 0 ∴ 3 + = 0，不妨取 = 3, 3,6 ， …………………………………………(10 分) 2 + = 0 = = 12 = 1设二面角 的平面角为 ，则 ，………………… (11 分) 2 3×4 3 2 由题知二面角 的锐二面角，所以二面角 大小为 60°. ………… (12 分) 19. 解：（1）由甲工艺频率分布直方图可知，合格品、优等品出现的频率分别为 0.4、0.6， 所以按分层抽样抽取的 5 个配件中，有合格品 2 个、优等品 3 个， ………………………(2 分) 所以从 5个中随机抽取 2 个,恰有 1 个质量等级为优等品的概率为： 1 1 = 2 3 62 = = 3 ……………………………………………………(4 分) 5 10 5 (2) 合格品 优等品 总 计 甲生产工艺 40 60 100 乙生产工艺 55 45 100 总 计 95 105 200 ………………………………………………………………………………………………(6 分) 2 2 所以 2 = ( ) = 200(40×45 60×55) ≈ 4.511 ……………………………………(9 分) + + + + 100×100×95×105 由于 4.511 > 3.841，所以有 95%的把握认为配件的质量和生产工艺有关. ………………(10分) 应该选择甲工艺生产新能源配件，甲的优等品率为 0.6，乙的优等品率仅为 0.4.…………(12 分) 20. （1）由题意，离心率 = = 2， 2 由当 P C 1是 的上顶点时， 1 2面积的最大,则 × 2 × = 2,得 = 2 …………………(2 分)2 又∵ 2 = 2 + 2 ∴ = 2, = = 2 2 2 故椭圆 C的标准方程为 + = 1 ………………………………………………(4 分) 4 2 (2) 存在点 ( , 0)，使得 = . 理科数学答案 第 2 页 共 4 页 由题知 2（ 2，0），设直线 2方程为： = ( 2)， 2 2+ = 1 联立 4 2 ， = ( 2) 得 2 2 + 1 2 4 2 2 + 4 2 1 = 0， = 16 2 + 1 > 0 …………… ... ...
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