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课件网) 5.4反函数的图象（第2课时） 第 5 章函数的概念、 性质及应用 沪教版2020必修第一册 函数的定义是什么？ 在某个变化过程中有两个变量 ，如果对于 在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则 ， 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 就是 的函数记作 ， 的取值范围 D 叫做函数的定义域，和 的值相应的 值叫做函数值，函数值的集合叫做值域。 为了研究函数与其反函数的图像的特征 ， 我们需要一个如下 的命题 ： 作为指数函数和对数函数的图像关系在一般函数中的推广 ， 我们有 练习：图中表示函数的图像是（ ） 对于函数 反函 数 定义 在习惯上自变量常用 表示，而函数用 表示，所以把它改写为 反函数的定义 如果对 中任意一个值 ，在 中总有唯一确定的 值与它对应，使这样得到的 关于 的函数叫做的 反函数，记作 。 例1：若函数 ，是函数 的反函数，则 的图象大致是（ ） 例2：求函数 的反函数 例3：证明：函数 存在反函数 例4：证明：在区间D上的单调函数必存在反函数 矛盾 拓展： 课本练习 课堂小结： THANKS “ ” 普通高中教科书 029 SHUXUE 数学 必 修 第一册 上海粮育出板社 证明当a=b时，点P与P'重合，且在直线y=x上，结论 成立 当a≠b时，点P与P'是不重合的两点，要证明它们关于 y=x对称，即证y=x是线段PP'的垂直平分线. 线段PP'的垂直平分线即点集{Q(x,y)|QP|=QP'}. 该集合也可以表示为 {Q(x,y)W(x-a)2+(y-b)2=√(x-b)2+(y-a)2}, 即 Q(x,y)ax+by=bx+ay. 因a≠b,故该集合即{Q(x,y)x=y}. 所以线段PP'的垂直平分线是直线y=x,因而点P(a,b)与 点P'(b,a)关于直线y=x对称. 证明 设函数y=f(x),x∈D的反函数为y=f-1(x), x∈f(D). 若P(a,b)为函数y=f(x)图像上任取的一点，则必有 a∈D,且b=f(a).这样，b=f(a)∈f(D),且根据反函数的定 义，a=f-1(b),因此P(a,b)关于y=x的对称点P'(b,a)在函数 y=f-1(x)的图像上. 另一方面，因为y=f-1(x)的反函数是y=f(x),由上述， y=f-1(x)图像上任一点Q关于直线y=x的对称点Q在函数 y=f(x)的图像上. 综上所述，互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称. 在求一个函数y=f(x)的反函数时，一般来说要经历下述三 个步骤：求出反函数的定义域（即原来函数的值域）；解方程 y=f(x),求出x关于y的函数式；再交换x与y.正是将x和y 对换，即将点的横纵两个坐标作了对换，才导致了函数与其反函数 的图像关于直线y=x对称.
