第十四章 统计 14.4.3 用频率直方图估计总体分布、百分位数 教材从设计上要求学生体会不同抽样方法的特点，鼓励学生从统计图表和基本数字特征中获取尽可能多的有用信息，体会统计图表和基本数字特征的特点；鼓励学生根据样本的信息对总体作出推断，体会用样本估计总体的思想，认识统计的作用和统计思维的特征；鼓励学生对数据处理过程进行反思，形成对数据处理过程进行初步评价的意识；鼓励学生通过不同视角或方法进行统计分析，在比较中深化认识统计量，提高统计分析的能力； 课程目标 学科素养 1.用频率直方图估计总体分布. 2.结合实例，能用样本估计百分位数. 3.理解百分位数的统计含义． 在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模、数学运算素养和数据分析素养. 1.教学重点：用频率直方图估计总体分布. 2.教学难点：理解百分位数的统计含义． 多媒体调试、讲义分发。 某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考. 问题 那么如何确定需要补考的分数线呢？ 提示 利用百分位数计算. 知识点 百分位数 1．第p百分位数的定义： 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk. 2．计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤如下： 第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步 计算k·； 第3步 如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步 如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数． 3．四分位数 25,50,75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中25百分位数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数． 一、用频率直方图估计总体分布 例1 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少？ 解 (1)频率直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为＝0.08. 因为第二小组的频率＝， 所以样本容量＝＝＝150. (2)由频率直方图可知该校高一年级全体学生的达标率约为×100%＝88%. 反思感悟 频率直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，可近似地估计在这一范围内的可能性． 跟踪训练1 为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下： 分组 频数 频率 频率/组距 [180,200) 1 0.05 0.002 5 [200,220) 1 0.05 0.002 5 [220,240) 2 0.10 0.005 0 [240,260) 3 0.15 0.007 5 [260,280) 4 0.20 0.010 0 [280,300) 6 0.30 0.015 0 [300,320) 2 0.10 0.005 0 [320,340] 1 0.05 0.002 5 合计 20 1 0.050 0 (1)作出频率直方图； (2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台； (3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限． 解 (1)频率直方图如图所示． (2)由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台． (3)由频率直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)． 故估计这8万台电风扇的平均无故 ... ...
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