浙江省宁波市9校联考2022-2023学年高三上学期1月高考适应性考试数学试题（含答案）

绝密启用前 试卷类型：A 宁波市9校联考2022-2023学年高三上学期1月高考适应性考试 数学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.A 7.B 8.A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.ABC 10.CD 11.BD 12.BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.-132 14. 15. 16. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（1），两边取倒数得，所以数列为等差数列，公差为，首项为. （2）由为等差数列，公差为，首项为，则， 得， 采用裂项相消法化简 ，变形为恒成立，最小值为2012. 18.（Ⅰ）在中，由正弦定，可得， 又由，得，即． 又，所以． （Ⅱ）在中，， 由余弦定理，有，则． 又，有，得． 由即，故 19.（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以，又是正三角形的边的中点， 所以 ，，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）设的中点为，连接， 因为是正三角形，所以， 又三棱柱是直三棱柱，面，面， 所以，而，平面， 因此平面，于是直线与平面所成的角. 由题设知，所以. 在中，， 所以. 由（1）知为直角三角形，且， 故，又， 所以. 20.（1）根据分层抽样法，抽样比例为， ∴n＝48； ∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8； （2）根据题意完善2×2列联表，如下； 超过1小时 不超过1小时 合计 男生 20 8 28 女生 12 8 20 合计 32 16 48 计算K20.6857＜3.841， 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关； （3）参加社区服务时间超过1小时的频率为， 用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生， 估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为64（人）． 21.（1）设，有①，由题意知，，， ∴ ∵ ，∴ ，有， 解得， 将其代入①式解得，从而求得， 所以的方程为. （2）联立得，联立得， 从而， 点到直线的距离，进而 令，有， 当，即时， 即当过原点直线为时，△面积取得最小值. 22.（1） 由，可得，其中，且． 下面分两种情况讨论： ①当为奇数时，令，解得，或， 当变化时，，的变化情况如下表： 递减 递增 递减 所以，在，上单调递减，在单调递增； ②当为偶数时， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减； 所以，在单调递增，在上单调递减； （2） 证明：设点的坐标为，，则，， 曲线在点处的切线方程为， 即， 令，即， 则． 由于在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在内单调递增，在上单调递减， 所以对应任意的正实数，都有， 即对于任意的正实数，都有． （3） 证明：不妨设， 由（2）知，设方程的根为， 可得，由（2）知，可得． 类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得， 当，， 即对于任意的，， 设方程的根为，可得， 因为在上单调递增， 且，因此， 由此可得：， 因为，所以， 故：．则， 所以当时，即有．绝密★考试结束前（考试时间2023年1月2日 7：00-9：00） 宁波市9校联考2022-2023学年高三上学期1月高考适应性考试 数学 姓名：_____ 准考证号：_____ 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔 ... ...