第三章 圆锥曲线的方程 典型例题讲解（含解析）

1 第三章 圆锥曲线的方程 典型例题讲解 目录 一、基本概念回归 二、重点例题（高频考点） 高频考点一：圆锥曲线的定义 高频考点二：圆锥曲线的标准方程 高频考点三：焦点三角形问题 高频考点四：离心率问题 高频考点五：圆锥曲线中的最值问题 高频考点六：弦长问题 高频考点七：中点弦问题 高频考点八：轨迹方程问题 高频考点九：面积问题 高频考点十：圆锥曲线中的定点、定值问题 高频考点十一：圆锥曲线中的向量问题 一、基本概念回归 知识回顾1：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的 轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 知识回顾2：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识回顾3：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识回顾4：双曲线的定义 4.1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 4.2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 4.3双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识回顾5：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识回顾6：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识回顾7：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 知识回顾8：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识回顾9：弦长公式 ：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 知识回顾10：中点弦点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 知识回顾11：面积问题 11.1三角形面积问题 直线方程： 11.2焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 二、重点例题（高频考点） 高频考点一：圆锥曲线的定义 1．（2022·全国·高二课时练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ） A．21 B．28 C．35 D．42 2．（2022·江苏·高三开学考试） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ） A． 3 B． 2 C． 1 D． 3．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且， ... ...